y = x2 (1)
и
y = 2x2. (2)
Мы видим, что при одном и том же значении аргумента x значение y функции (2) будут в 2 раза больше значений функции (1). Например:
Это значит, что ордината каждой точки графика функции (2) равна удвоенной ординате точки с той же абсциссой графика функции (1).
Отсюда следует, что график функции (2) можно получить так: построить график функции (1) (черт. 74) и удвоить ординату каждой его точки.
Наглядно это преобразование можно представить при помощи следующей модели.
Представим себе ось OX в виде неподвижной планки, а верхнюю полуплоскость — в виде растяжимой (например, резиновой) пленки, на которой начерчена парабола y = x2. Если теперь растянуть пленку по направлению вверх в 2 раза, то парабола y = x2 перейдет в параболу y = 2x2 (черт. 75).
Полученная линия (черт. 75) и будет графиком функции (2). Эта линия тоже называется параболой. По сравнению с параболой y = x2 она «более круто» поднимается вверх.
Рассмотрим теперь функцию
. (3)
Чтобы перейти от графика (1) к графику (3), достаточно все ординаты точек графика (1) уменьшить в 2 раза.
На нашей модели это будет соответствовать не растяжению, а сжатию пленки в 2 раза. Вообще, чтобы построить график функции y = ax2, где a — положительное число, достаточно все ординаты точек параболы y = x2 умножить на a.
При помощи нашей модели этот переход можно пояснить как растяжение при a > 1 (в a раз) либо сжатие при a < 1 (в раза) основной параболы y = x2.
Рассмотрим график функции
y = –2x2. (4)
Очевидно, при любом значении x значения y в (2) и (4) будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это значит, что точки графиков функций (2) и (4) с одной и той же абсциссой имеют противоположные ординаты, то есть расположены симметрично относительно оси абсцисс.
Отсюда следует, что и весь график функции (4) будет симметричен с графиком (2) относительно оси абсцисс.
Таким образом, график функции y = –2x2 можно получить, повернув (в пространстве) график функции y = 2x2 на 1800 вокруг оси абсцисс.
Иначе говоря, парабола y = –2x2 получается зеркальным отражением параболы y = 2x2 в оси абсцисс.
Вообще, при a < 0 график функции y = ax2 можно получить из основной параболы y = x2 так: умножить ординаты точек параболы y = x2 на |a| (растяжение либо сжатие), а затем зеркально отразить полученную параболу в оси абсцисс.
На чертеже 76 изображен ряд парабол y = ax2 при различных значениях a. Мы видим, что при a > 0 параболы обращены вогнутостью вверх, а при a < 0 — вниз.
Построим график полного квадратного трехчлена, например:
y = 2x2 + 4x + 6.
Проделаем такие преобразования. Вынесем за скобку коэффициент при x2, а затем выделим полный квадрат:
y = 2(x2 + 2x + 3) = 2(x2 + 2x + 1 + 2)
и, наконец,
y = 2(x + 1)2 + 4.
Этот график можно получить из параболы y = x2 постепенными преобразованиями так:
1) перенесем параболу y = x2 на 1 единицу влево (черт. 77a), получим:
y = (x + 1)2;
2) умножим все ординаты на 2 (растяжение в 2 раза), получим:
y = 2(x + 1)2;
3) перенесем последний график вверх на 4 единицы, получим искомый график (черт. 77б):
y = 2(x + 1)2 + 4.
Примечание. Практически можно ограничиться построением лишь одной параболы. Для этого достаточно через точку O1 (–1; 4) провести оси O1X1 и O1Y1, параллельные осям XOY, и во вспомогательной системе координат X1O1Y1 построить (например, по точкам) параболу y1 = 2x12.
Рассмотрим еще пример: построим график
Представим данную функцию в следующем виде:
.
Строим график постепенно так:
1) переносим параболу y = x2 на 3 единицы вправо:
y = (x – 3)2;
2) умножаем ординаты на (сжатие): ;
3) отражаем зеркально в оси абсцисс:
;
4) переносим вверх на 2 единицы:
.
Все сказанное применимо к квадратному трехчлену с любыми коэффициентами.
Рассмотрим квадратный трехчлен в общем виде:
y = ax2 + bx + c.
Выполним такие преобразования:
,
и, наконец,
.
Мы видим, что искомый график можно получить, перенеся параболу y = x2 на в направлении оси абсцисс, умножив ординаты точек полученной параболы на a и перенеся последний график на в направлении оси ординат.
В результате этих преобразований вершина параболы окажется в точке ; при этом парабола обращена вогнутостью вверх при a > 0 и вниз при a < 0.