a + b = b + a.
Это следует из правил сложения рациональных чисел.
В самом деле, если числа имеют одинаковые знаки (правило 1), то мы складываем их абсолютные величины, то есть положительные числа, а для них переместительное свойство сложения справедливо.
Если же числа имеют противоположные знаки (правило 2), то мы их большей абсолютной величины вычитаем меньшую независимо от того, стоит ли число с большей абсолютной величиной на первом или на втором месте. Значит, и здесь величина суммы не зависит от порядка слагаемых.
Например:
5 + (-7) = -(7-5) = -2 и
(-7) + 5 = -(7-5) = -2.
В правилах 3 и 4 ничего не говорится о порядке слагаемых, значит, они верны при любом порядке слагаемых.
Переместительный закон справедлив при сложении любого числа слагаемых.
Покажем это на примере.
Складывая числа (-5), 2 и (-4) в любом порядке, мы получим одно и то же число (-7):
(-5) + (+2) + (-4) = (-3) + (-4) = -7
(+2) + (-5) + (-4) = (-3) + (-4) = -7
(-4) + (+2) + (-5) = (-2) + (-5) = -7
и т. д.
Сочетательный закон. При сложении рациональных чисел остается в силе сочетательный закон сложения.
Убедимся в этом на примере суммы трех слагаемых:
(a + b) + c = a + (b + c).
При a = -5, b = 3, c = -7 получим:
[(-5) + (+3)] + (-7) = (-2) + (-7) = -9
и (-5) + [(+3) + (-7)] = (-5) + (-4) = -9.
Нередко в вычислениях одновременно пользуются и переместительным и сочетательным законами.
Приведем такой пример.
Вычислим сумму
187 + 46 + 38 + 54 + 113.
Переместим слагаемые так:
187 + 113 + 46 + 54 + 38.
Произведем сложение в таком порядке:
(187 + 113) + (46 + 54) + 38 = 300 + 100 + 38 = 438.
Такое одновременное применение переместительного и сочетательного законов иногда выражают кратко в виде следующего правила:
Слагаемые можно соединять в группы любым способом.
При вычислении суммы, содержащей и положительные и отрицательные слагаемые, можно применять следующее правило:
Чтобы сложить несколько рациональных чисел, можно сложить отдельно все положительные, отдельно все отрицательные числа и полученные два числа сложить по правилу сложения двух чисел.
В справедливости этого правила нетрудно убедится.
Пользуясь переместительным законом, расположим (мысленно) слагаемые так, чтобы сначала стояли все положительные слагаемые, а за ними все отрицательные. Затем, пользуясь сочетательным законом, сложим отдельно все положительные слагаемые и отдельно все отрицательные. Получим два числа, которые сложим по правилу сложения двух рациональных чисел.
Пример. Сумму
(-5) + (+4) + (-10) + (+12)
можно вычислить так:
1) Сложить положительные слагаемые:
(+4) + (+12) = +16.
2) Сложить отрицательные слагаемые:
(-5) + (-10) = -15.
3) Сложить полученные суммы:
(+16) + (-15) = 1.