Противоположные многочлены

Мы знаем, что два противоположных числа имеют одну и ту же абсолютную величину и противоположные знаки. Мы знаем также, что сумма двух противоположных чисел равна нулю [например, 5 + (–5) = 0], и, обратно, если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа противоположные. Рассмотрим два таких многочлена, которые состоят из членов, одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Возьмем, например, многочлены:

Перейти на статью

Дополнение множества

Сейчас чрезвычайно популярны тесты – от серьезных, научно обоснованных, с помощью которых определяют пригодность к той или иной профессии, до простеньких, шуточных, наполняющих развлекательные отделы популярных журналов. Не отстанем от века и мы. Дано: Требуется дополнить каждую картинку непрерывной линией так, чтобы получились изображения хорошо известных предметов. Отгадки, которые мы имели в виду, выглядят так: гриб, гаечный ключ, кость домино «один – пусто».

Перейти на статью

Формирование геометрических понятий

«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе», – говорил немецкий математик Карл Вейерштрасс. Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки своих понятий и представлений, если нам никак не удается определить их в строгих математических терминах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут поэтические образы. «Звезды на небе – как искорки». «Луч света – как тетива лука». «Равнина – как гладь озера».

Перейти на статью

Треугольники

В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках. Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCD, мы получи два равных прямоугольных треугольника ABD и CDB. Равенство этих треугольников позволяет сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.

Перейти на статью

Осевая симметрия

Пусть a — данная прямая. Каждой точке M сопоставим симметричную ей относительно прямой a точку M1 (рис. 67). В результате каждой точке M будет сопоставлена некоторая точка M1, и каждая точка M1 окажется сопоставленной некоторой точке M, т. е., как говорят, будет задано отображение плоскости на себя. Оно называется осевой симметрией, а прямая a — осью симметрии. Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками. Поясним смысл этих слов.

Перейти на статью

Ось координат

Рассмотрим произвольную прямую l и отметим на ней какую-нибудь точку O (рис. 35, а). Точка O разделяет прямую l на два луча. Выберем один из них и назовем его положительной полуосью (на рисунке 35, а она отмечена стрелкой), а другой луч — отрицательной полуосью. Если, кроме того, выбрана единица измерения отрезков, то прямая l с выбранной положительной полуосью называется осью координат. Точка O называется началом координат. Ось координат с началом O обычно обозначают так: Ox.

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Введение в стереометрию"

Какая поверхность называется многогранником? Что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника? Приведите примеры многогранников. Какая плоскость называется секущей плоскостью данного тела? Что такое сечение тела? Какие свойства объемов тел называются основными? Объясните, какой многогранник называется n-угольной пирамидой. Что такое основание, боковые грани, вершина, боковые ребра и высота пирамиды? Какая пирамида называется правильной? Какой формулой выражается объем пирамиды?

Перейти на статью

Признаки прямоугольника

Теорема. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой (рис. 61). Докажем, что параллелограмм ABCD — прямоугольник, т. е. все его углы прямые. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то ∠C = ∠A = 90°, ∠B = ∠D = ½ (360° – ∠A – ∠C) = 90°. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD — прямые. Теорема доказана.

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Параллельность"

Объясните, какая фигура называется ломаной. Какая ломаная называется замкнутой? Какая ломаная называется простой? Какая фигура называется многоугольником? Что такое стороны, вершины и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. Чему равна сума его внешних углов?

Перейти на статью

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

В этом пункте мы вернемся к одному из вопросов, возникших в 7 классе: верно ли, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? Теперь можно ответить на этот вопрос. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения биссектрис AA1 и BB1 треугольника ABC (рис. 31, а). Докажем, что точка O лежит на биссектрисе CC1.

Перейти на статью

Об аксиомах геометрии

В учебнике 7 класса при доказательстве утверждения о сумме острых углов прямоугольного треугольника мы исходили из того, что существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам. А откуда следует, что такой прямоугольник существует? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся построить прямоугольник с заданными сторонами a и b.

Перейти на статью

Треугольник

Выберем какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Соединив их тремя отрезками, получим геометрическую фигуру, называемую треугольником (рис. 65, а). Выбранные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.

Перейти на статью

Сокращение дроби

§ 129. Что называется «сокращением» дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей, дробью с меньшими членами путем деления числителя и знаменателя па одно и то же число.

Перейти на статью

Вычитание рациональных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число. Другими словами, вычесть из какого-либо числа a число b — значит найти такое третье число c, чтобы было справедливо равенство: c + b = a.

Перейти на статью

Умножение

При установлении правил умножения для любых рациональных чисел положим в основу те же требования, что и для сложения рациональных чисел (см. § 12). Возьмем опять задачу на изменение температуры. Температура изменяется каждый час на a0. В настоящий момент термометр показывает 00. Сколько градусов покажет термометр через t часов? Как и раньше, будем обозначать понижение температуры отрицательными числами.

Перейти на статью

Понятие о долях и дробях

Вы уже встречались с долями, которые образуются при делении целого на равные части. Так, например, при делении целого на 7 равных частей получаются седьмые доли, при делении на две равные части получаются вторые доли (их называют половинами), при делении на три равные части — третьи доли (трети), а при делении на четыре — четвертые доли (четверти). Отрезок AF состоит из двух третьих долей отрезка AB, а отрезок AM — из четырех третьих долей отрезка AB. Таким образом, длина AF равна двум третьим долям, а длина AM равна четырем третьим долям длины AB.

Перейти на статью

Понятие десятичной дроби

Таблица разрядов выглядит примерно так: В данном случае число 12 умножили на 10 и тем самым сдвинули его единицы в десятки, а десятки в разряд сотен. Так получилось число 120. А из числа 1200 его получили путем деления на 10. Таким образом, при умножении натурального числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается на одну клетку влево. При делении натурального числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается на одну клетку вправо.

Перейти на статью

Заключение к учебнику геометрии, 9 класс

Вы закончили путешествие по замечательной стране с названием «Планиметрия». Надеемся, что вам понравились ее достопримечательности и многие из них вы надолго сохраните в своей памяти. Не сомневаемся, что вы испытывали большое удовлетворение, когда удавалось решить трудную геометрическую задачу. Надеемся также, что геометрия помогла вам развить логическое мышление, потребность обосновывать высказанные утверждения, и не только математические.

Перейти на статью