Построение фигур

Построение трех правильных многоугольников

С помощью циркуля и линейки построим золотое сечение данного отрезка PQ (см. п. 71), т. е. построим на нем такую точку M, что a/b = (b – a)/a, где a = PM и b = PQ (рис. 115, а). Затем построим равнобедренный треугольник ABC со сторонами BC = a, AB = AC = b и на его стороне AB отложим отрезок AD = a (рис. 115, б).

Задачи повышенной трудности к "Окружность"

176. К двум окружностям с центрами O и O₁ проведены две общие касательные, не пересекающие отрезка OO₁, и одна общая касательная, пересекающая их в точках A, B и касающаяся окружностей в точках A₁, B₁. Докажите, что AA₁ = BB₁.

177. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка M так, что ∠AMB = 30° и ∠MBC = 23°. Найдите углы BAM и BCM.

178. Гипотенузы BC и B₁C₁ прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны, AB < A₁B₁. Докажите, что AC > A₁C₁.

Дополнительные задачи к главе "Окружность"

109. Докажите, что окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в двух точках.

110. Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой окружности. Найдите угол между отрезками касательных, проведенными из указанной точки к данной окружности.

111. На рисунке 165 прямые AB и AC – касательные к окружности, B и C – точки касания. Докажите, что ∠BAC = 180° – ◡BDC.

Вопросы для повторения к главе "Окружность"

  1. Что такое определение?
  2. Дайте определение окружности?
  3. Объясните, что такое центр, радиус и диаметр окружности. Что такое круг?
  4. Докажите, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.
  5. Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от ее центра до прямой?
  6. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности?
  7. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?

Вопросы и задания к параграфу "Задачи на построение"

107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.

б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

в) Даны острые углы ABC и DEF. Отложите от луча BA во внешнюю область угла ABC угол, равный углу DEF.

г) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, DE = 2AB и DF = 3AC.

д) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, ∠E = ∠B и DE = 2AB.

Построение касательной

Задача

Через данную точку A провести касательную к данной окружности с центром O.

Решение

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету

Опираясь на результаты пп. 34-39, нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам:

  • по двум катетам;
  • по гипотенузе и острому углу;
  • по катету и любому из острых углов.

(Объясните, как выполнить эти построения.) Решим еще одну из важнейших задач на построение.

Задача

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение

Построение прямой, перпендикулярной к данной

Задача

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение

Данная точка M может лежать на данной прямой a, а может и не лежать на ней. И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку.

Построение серединного перпендикуляра

Задача

Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Pages

Subscribe to RSS - Построение фигур