Окружность

В пункте 110 мы сказали, что точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр P_n правильного вписанного в окружность 2ⁿ-угольника при неограниченном увеличении числа n. Уточним, что имелось в виду.

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

1. Какие многоугольники называются равносоставленными?

2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности.

3. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр?

4. Какие свойства площадей называются основными?

5. Какие многоугольники называются равновеликими? В чем заключается теорема Бойяи–Гервина?

6. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

77. а) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить в k раз? уменьшить в k раз?
б) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить на 1 см?
в) Длина окружности, вписанной в квадрат, равна l. Найдите длину окружности, описанной около этого квадрата.
г) Найдите радиус окружности, длина которой равна длине дуги окружности радиуса 24 см с градусной мерой 30º.

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

В 8 классе мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну (см. «Введение»).

Рассмотрим окружность радиуса R и два правильных n-угольника — вписанный в эту окружность и описанный около нее. Выразим стороны, периметр и площади этих n-угольников через радиус R.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50). Равенство, содержащее координаты точек, называется уравнением линии L в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y) линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Исследуем взаимное расположение двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ в зависимости от расстояния d между их центрами (рис. 105). Для определенности будем считать, что радиус первой окружности не меньше радиуса второй окружности (r₁ ≥ r₂). Рассмотрим все возможные случаи.

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Докажем, например, что BC = 2R * sin A.

Если отрезок BC — диаметр описанной окружности (рис. 100, а), т. е. BC = 2R, то ∠A = 90º, поэтому sin A = 1 и BC = 2R * sin A.