Четырехугольники

Площадь четырехугольника

Теорема. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между содержащими их прямыми.

Доказательство. Докажем теорему для выпуклого четырехугольника ABCD (случай невыпуклого четырехугольника рассмотрите самостоятельно).

Свойства параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Докажем, что

  • параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 54) и докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой AB.

Параллелограмм

Четырехугольник

Четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 46). Две вершины четырехугольника, являющиеся концами одной и той же диагонали, называются противоположными; две несмежные стороны четырехугольника также называются противоположными. На рисунке 46 противоположными вершинами являются A1 и A3, A2 и A4, а противоположными сторонами – A1A2 и A3A4, A2A3 и A4A1.

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.

Биссектриса угла

142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA.

б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD.

в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC.

г) На рисунке 116 изображен квадрат ABCD, в котором AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат.

Прямоугольник

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD и DA, никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек, отличных от концов. Такая фигура называется четырехугольником ABCD (рис. 90), указанные отрезки называются сторонами, а концы сторон (точки A, B, C, D) – вершинами четырехугольни­ка.

Четырехугольник и прямоугольник

Subscribe to RSS - Четырехугольники