Перпендикуляр

Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Доказательство. Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно параллельными сторонами: OA || O1A1, OB || O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Углы с соответственно параллельными сторонами

Задачи с практическим содержанием "Начальные геометрические сведения"

1. В парке к цветочной клумбе ведут три дорожки (рис. 173). Можно ли проложить прямолинейную дорожку, соединяющую: а) первую и вторую дорожки; б) первую и третью дорожки; в) все три дорожки?


2. Как на садовом участке прокопать узкую прямолинейную канавку между двумя вбитыми в землю колышками, если в вашем распоряжении есть веревка, которая короче расстояния между колышками?

3. Как отметить середину прямолинейной дорожки, если у вас есть только веревка, которая короче, чем дорожка?

Построение прямой, перпендикулярной к данной

Задача

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение

Данная точка M может лежать на данной прямой a, а может и не лежать на ней. И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку.

Построение серединного перпендикуляра

Задача

Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Допол­нительные задачи к главе "Треугольники"

§5 Равнобедренный треугольник

55. Точка C лежит на прямой AB, а точка D не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

56. Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что ∠ABO = ∠CBO.

57. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

58. Докажите, что каждый угол имеет биссектрису.

59. Докажите, что каждый отрезок имеет середину.

Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

  1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника?
  2. Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника?
  3. Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника?
  4. Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
  5. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA.

б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD.

в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC.

г) На рисунке 116 изображен квадрат ABCD, в котором AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат.

Свойство биссектрисы угла

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.)

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. На рисунке 106 прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Pages

Subscribe to RSS - Перпендикуляр