Биссектриса

Вопросы и задачи "Вписанная и описанная окружности"

9. а) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O, причем CO = 10 см и ∠C = 60º. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.
б) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите угол BOC, если ∠A = 2α.
в) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC, равные 6 см, 10 см и 14 см, касаются окружности в точках D, E и F. Найдите AD, DB, BE, EC, CF и FA.
г) На сторонах AB и AC треугольника ABC, описанного около окружности с центром O, отмечены точки D и E так, что OD || AC и OE || AB. Докажите, что AD = DO = OE = EA.

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

В этом пункте мы вернемся к одному из вопросов, возникших в 7 классе: верно ли, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? Теперь можно ответить на этот вопрос.

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.

Биссектриса угла

142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Допол­нительные задачи к главе "Треугольники"

§5 Равнобедренный треугольник

55. Точка C лежит на прямой AB, а точка D не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

56. Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что ∠ABO = ∠CBO.

57. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

58. Докажите, что каждый угол имеет биссектрису.

59. Докажите, что каждый отрезок имеет середину.

Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

  1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника?
  2. Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника?
  3. Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника?
  4. Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
  5. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA.

б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD.

в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC.

г) На рисунке 116 изображен квадрат ABCD, в котором AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат.

Свойство биссектрисы угла

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.)

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Вопросы и задачи к параграфу "Признаки равенства треугольников"

35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если OA = OB, то ΔAOC = ΔBOC.

б) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

в) Углы AOC и BOC на рисунке 87 равны. Докажите, что если AO = OB, то ∠ABC = ∠BCA и AQ = BQ.

г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны. Докажите, что если AP = BQ, то ∠ABC = ∠BAC.

д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что ∠CAO = ∠CBO.

е) На рисунке 87 AC = BC и AR = BP. Докажите, что AP = BR.

Вопросы и задачи к параграфу "Равнобедренный треугольник"

27. а) Периметр треугольника ABC, изображенного на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см. Найдите периметр ABD, если AB = BD = DA = DC.

б) Точка M – середина стороны AC треугольника ABC, в котором AB = 6 см. Периметры треугольника ABM и BCM отличаются на 10 см. Найдите сторону BC.

Pages

Subscribe to RSS - Биссектриса