Угол

Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, - углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2.

Равные углы

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Доказательство. Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно параллельными сторонами: OA || O1A1, OB || O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Углы с соответственно параллельными сторонами

Задачи с практическим содержанием "Начальные геометрические сведения"

1. В парке к цветочной клумбе ведут три дорожки (рис. 173). Можно ли проложить прямолинейную дорожку, соединяющую: а) первую и вторую дорожки; б) первую и третью дорожки; в) все три дорожки?


2. Как на садовом участке прокопать узкую прямолинейную канавку между двумя вбитыми в землю колышками, если в вашем распоряжении есть веревка, которая короче расстояния между колышками?

3. Как отметить середину прямолинейной дорожки, если у вас есть только веревка, которая короче, чем дорожка?

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.

Биссектриса угла

142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

Задачи повышенной трудности "Начальные геометрические сведения"

134. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые. Известно, что через точку пересечения любых двух из них проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. С помощью рассуждений убедитесь в том, что все данные прямые пересекаются в одной точке.

135. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере еще одну из данных точек. С помощью рассуждений убедитесь в том, что все данные точки лежат на одной прямой.

136. Решите: а) задачу 134 для случая, когда даны пять прямых; б) задачу 135 для случая, когда даны пять точек.

Вопросы и задания к параграфу "Задачи на построение"

107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.

б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

в) Даны острые углы ABC и DEF. Отложите от луча BA во внешнюю область угла ABC угол, равный углу DEF.

г) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, DE = 2AB и DF = 3AC.

д) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, ∠E = ∠B и DE = 2AB.

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Построение угла, равного данному

Задача

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Пусть даны неразвернутый угол A (для развернутого угла решение очевидно) и луч OM (рис. 157, а). Требуется построить угол, равный углу A, одной из сторон которого будет луч OM.

Вопросы и задачи к параграфу "Отрезки и углы, связанные с окружностью"

99. а) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем ∠AOB = ∠COD. Докажите, что AB = CD.

б) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD.

в) Отрезок AD – высота треугольника ABC. На прямой BC отмечена точка L так, что точка D является серединой отрезка CL; на прямой AB отмечены точки M и N так, что AM = AC и точка A является серединой отрезка MN. Докажите, что точки C, L, M и N лежат на одной окружности.

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключенную внутри этого угла. На рисунке 146 вписанный угол ABC опирается на дугу AMC.

Вписанный угол

Докажем теорему о вписанном угле.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Pages

Subscribe to RSS - Угол