Стереометрия

Задачи повышенной трудности "Введение в стереометрию"

220. Прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Могут ли прямые AC и BD быть параллельными?

221. В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

222. В тетраэдре ABCD сумма углов с вершиной A (т. е. углов BAC, CAD и DAB) равна 180º. Докажите, что грани этого тетраэдра равны друг другу.

223. Изобразите куб и постройте такое его сечение, которое является: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

Дополнительные задачи "Введение в стереометрию"

§ 24

127. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.

128. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке.

129. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.

Вопросы для повторения "Введение в стереометрию"

  1. Какая поверхность называется многогранником? Что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника? Приведите примеры многогранников.
  2. Какая плоскость называется секущей плоскостью данного тела? Что такое сечение тела?
  3. Какие свойства объемов тел называются основными?
  4. Объясните, какой многогранник называется n-угольной пирамидой. Что такое основание, боковые грани, вершина, боковые ребра и высота пирамиды? Какая пирамида называется правильной?
  5. Какой формулой выражается объем пирамиды?

Вопросы и задачи "Тела и поверхности вращения"

121. а) Найдите объем цилиндра, радиус которого равен 2 см, а высота равна радиусу.
б) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Найдите отношение объема правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, к объему цилиндра.
в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра радиуса 2 см, если его высота вдвое больше длины окружности основания.
г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (рис. 112). Данная точка называется центром сферы (точка O на рисунке 112), а отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой, – радиусом сферы.

Сфера

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Поскольку центр сферы является серединой диаметра, то диаметр сферы радиуса R равен 2R.

Конус

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOP и представим себе, что он вращается вокруг катета OP. В результате получается тело, которое называется конусом (рис. 110).

Части конуса

Цилиндр

Рассмотрим прямоугольник OO1M1M и представим себе, что он вращается вокруг своей стороны OO1. В результате получается тело, которое называется цилиндром (рис. 107).

Цилиндр

Вопросы и задачи "Многогранники"

117. а) Тело T, объем которого равен V, составлено из трех тел: T1, T2 и T3. Сумма объемов тел T1 и T2 равна V1, а сумма объемов тел T2 и T3 равна V2. Найдите объем тела T2.
б) Докажите, что боковые грани правильной пирамиды являются равными друг другу равнобедренными треугольниками.
в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 90º и DA = DB = DC = 6 см.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник (т. е. многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани) называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб: все его грани — равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра.

Призма

Чтобы описать многогранник, называемый призмой, нам потребуются понятия параллельности двух плоскостей и двух прямых в пространстве. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (например, плоскости пола и потолка комнаты). Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Pages

Subscribe to RSS - Стереометрия