Площадь

Площадь прямоугольника

Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Еще одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять.

Задачи повышенной трудности "Площадь"

182. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

183. а) Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прямых AB, BC и CA равна высоте треугольника. б) Внутри правильного шестиугольника ABCDEF отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM, CDM и EFM равна сумме площадей треугольников BCM, DEM и FAM.

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

Вопросы для повторения "Площадь"

1. Какие многоугольники называются равносоставленными?

2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности.

3. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр?

4. Какие свойства площадей называются основными?

5. Какие многоугольники называются равновеликими? В чем заключается теорема Бойяи–Гервина?

6. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

Вопросы и задачи "Длина окружности и площадь круга"

77. а) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить в k раз? уменьшить в k раз?
б) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить на 1 см?
в) Длина окружности, вписанной в квадрат, равна l. Найдите длину окружности, описанной около этого квадрата.
г) Найдите радиус окружности, длина которой равна длине дуги окружности радиуса 24 см с градусной мерой 30º.

Площадь круга

Выведем формулу площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный 2n-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг (рис. 90, а), и правильный 2n-угольник, вписанный в эту окружность (рис. 90, б). Их площади Sоп и Sвп выражаются формулами вида (5) и (6):

Sоп = ½ QnR,
Sвп = ½ QnR cos2 180º/2n,

Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

В 8 классе мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну (см. «Введение»).

Рассмотрим окружность радиуса R и два правильных n-угольника — вписанный в эту окружность и описанный около нее. Выразим стороны, периметр и площади этих n-угольников через радиус R.

Вопросы и задачи "Площадь многоугольника"

69. а) Точки M и N — середины сторон AB и AC остроугольного треугольника ABC, отрезки BH и CK — перпендикуляры, проведенные из точек B и C к прямой MN. Докажите, что четырехугольник BCKH и треугольник ABC равносоставлены.
б) Найдите периметр квадрата с площадью 25 см2.
в) Как изменится площадь прямоугольника, если: две противоположные стороны увеличить в k раз; все стороны увеличить в k раз; две противоположные стороны увеличить в k раз, а две другие стороны уменьшить в k раз?

Формула Герона

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b. Выразим его площадь S через a, b и c. Так как S = ½ bc sin A, то достаточно выразить sin A через a, b и c. Из теоремы косинусов следует, что cos A = (1/(2bc)) (b2 + c2 – a2). Учитывая, что sin A > 0, из основного тригонометрического тождества находим:


Подкоренное выражение можно разложить на множители:
Вывод формулы Герона

Площадь четырехугольника

Теорема. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между содержащими их прямыми.

Доказательство. Докажем теорему для выпуклого четырехугольника ABCD (случай невыпуклого четырехугольника рассмотрите самостоятельно).

Pages

Subscribe to RSS - Площадь