Координаты

Единицы измерения

Так же часто, как считать, в жизни приходится выполнять различные измерения. Есть несколько величин, измерять которые приходится чаще всего. Это расстояние, время, масса, температура, скорость, площадь и объем.

При измерении каждой из этих величин сначала выбирается единица измерения — мера, а затем с ней сравнивается измеряемая величина.

Задачи повышенной трудности "Векторы и координаты"

151. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA.

152. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC — параллелограммы. Докажите, что четырехугольник AFHG также является параллелограммом.

153. Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19
31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что .

32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что .

33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1).

34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

Вопросы для повторения "Векторы и координаты"

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось.

2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат?

3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка.

4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат?

5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

Движения

Мы говорили, что осевая симметрия является отображением, сохраняющим расстояния. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Таким образом, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Из этого определения следует, что результат последовательного выполнения двух движений является движением (объясните почему).

В частности, последовательное выполнение двух осевых симметрий является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Осевая симметрия

Пусть a — данная прямая. Каждой точке M сопоставим симметричную ей относительно прямой a точку M1 (рис. 67). В результате каждой точке M будет сопоставлена некоторая точка M1, и каждая точка M1 окажется сопоставленной некоторой точке M, т. е., как говорят, будет задано отображение плоскости на себя. Оно называется осевой симметрией, а прямая a — осью симметрии.

Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками. Поясним смысл этих слов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Пусть и — неколлинеарные векторы. Если вектор представлен в виде

= x + y,     (3)

Свойства сложения векторов

Докажем теорему о свойствах сложения векторов.

Сумма векторов

Пусть и — данные векторы (рис. 56, а). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 56, б).

Pages

Subscribe to RSS - Координаты