Подобие

Вопросы и задачи "Геометрические преобразования"

23. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов.
б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси.
в) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. На прямой a постройте точку M, для которой сумма MA + MB принимает наименьшее значение.

О подобии произвольных фигур

Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки A и B переходят в такие точки A1 и B1, что A1B1 = kAB. Примерами преобразования подобия являются движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения.

Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур:

Центральное подобие

Пусть O — данная точка, k — данное число, отличное от нуля. Центральным подобием (или гомотетией) с центром O и коэффициентом k называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M1, что = k. Сформулируем утверждение об основном свойстве центрального подобия.

Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2.

247. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых MB2 + AC2 = MC2 + AB2.

Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16

149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β.

150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.

151. В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM.

Вопросы для повторения "Решение треугольников"

  1. Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков?
  2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
  3. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Вопросы и задачи "Подобные треугольники"

143. а) Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
б) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC пропорциональны сторонам DE, EF и FD треугольника DEF, ∠C = 50º и ∠D = 70º. Найдите остальные углы треугольников.
в) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5.
г) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

Построение трех правильных многоугольников

С помощью циркуля и линейки построим золотое сечение данного отрезка PQ (см. п. 71), т. е. построим на нем такую точку M, что a/b = (b – a)/a, где a = PM и b = PQ (рис. 115, а). Затем построим равнобедренный треугольник ABC со сторонами BC = a, AB = AC = b и на его стороне AB отложим отрезок AD = a (рис. 115, б).

Метод подобия

Метод подобия при решении задач на построение состоит в том, что сначала, используя только часть данных, строят фигуру, подобную искомой, а затем, привлекая остальные данные, строят искомую фигуру. Приведем пример решения задачи на построение методом подобия.

Задача. Построить треугольник ABC с данным острым углом B, в котором AB : BC = 3 : 2 и высота CD равна данному отрезку PQ.

Построение пропорциональных отрезков

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач на построение. Приведем два примера.

Задача. Разделить данный отрезок AB на отрезки AM и MB, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.

Pages

Subscribe to RSS - Подобие