Тригонометрия

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC, у которых A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, ∠B1 = ∠B (рис. 108). Докажем, что C1A1 = kCA и, следовательно, ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Свойство углов подобных треугольников

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры (две вложенные друг в друга матрешки, здание и его макет и т. д.). В геометрии такие фигуры называются подобными. Изучение подобных фигур мы начнем с определения подобных треугольников.

Определение. Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобные треугольники

Вопросы и задачи "Теоремы синусов и косинусов"

137. а) Найдите синус и косинус углов в 120º, 135º и 150º.
б) Постройте тупой угол A, если sin A = ¾.
в) Докажите, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
г) Найдите тангенс и котангенс углов в 30º, 45º, 60º, 120º, 135º и 150º.
д) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AB = BC = a и ∠A = α.
е) Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 80º, ∠B = 70º и AB = 9. Найдите угол C и приближенные значения AC и BC.

О построении треугольника по трем сторонам

Вернемся к вопросу, поставленному еще в 7 классе: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, если каждый из данных отрезков меньше суммы двух других?

Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник.

Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему косинусов.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, например, что

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Докажем, например, что BC = 2R * sin A.

Если отрезок BC — диаметр описанной окружности (рис. 100, а), т. е. BC = 2R, то ∠A = 90º, поэтому sin A = 1 и BC = 2R * sin A.

Сторона треугольника и синус противолежащего угла

Синус и косинус углов от 90º до 180º

Докажем сначала, что
для любого угла α из промежутка 0º < α < 90º справедливы равенства

sin α = 2sin α/2 * cos α/2, cos α = 2cos2 α/2 – 1.     (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠A = α, ∠C = 90º. Продолжим катет CA на отрезок AD, равный AB, и проведем высоту AH треугольника ABD (рис. 99, а). Так как треугольник ABD равнобедренный, и его внешний угол при вершине A равен α, то BH = HD и ∠B = ∠D = α/2 (рис. 99, б). Из прямоугольного треугольника ABH находим:

Вопросы и задачи "Косинус и синус острого угла"

131. а) Найдите отношение отрезков AB = 9 см и CD = 12 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в километрах?
б) Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1. Найдите A1B1, если AB = 8 мм, CD = 5 см и C1D1 = 2 дм.
в) Пропорциональны ли изображенные на рисунке 98: отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB, BC и CD отрезкам FH, EF и EG?

Теорема Пифагора

Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора и является одной из важнейших теорем геометрии.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 94) и докажем, что AB2 = AC2 + BC2.

Поскольку AC = AB · cos A и BC = AB · sin A, то

Pages

Subscribe to RSS - Тригонометрия