Тригонометрия

Учебник: Геометрия, 8 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Вопросы для повторения "Решение треугольников"
  1. Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков?
  2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
Вопросы и задачи "Косинус и синус острого угла"

131. а) Найдите отношение отрезков AB = 9 см и CD = 12 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в километрах?

Вопросы и задачи "Теоремы синусов и косинусов"

137. а) Найдите синус и косинус углов в 120º, 135º и 150º.
б) Постройте тупой угол A, если sin A = ¾.
в) Докажите, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16

149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β.

150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.

Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2.

Косинус острого угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника обозначается символом cos α (читается «косинус альфа»).

О построении треугольника по трем сторонам

Вернемся к вопросу, поставленному еще в 7 классе: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, если каждый из данных отрезков меньше суммы двух других?

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник.

Свойство углов подобных треугольников

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры (две вложенные друг в друга матрешки, здание и его макет и т. д.). В геометрии такие фигуры называются подобными. Изучение подобных фигур мы начнем с определения подобных треугольников.

Синус и косинус углов от 90º до 180º

Докажем сначала, что
для любого угла α из промежутка 0º < α < 90º справедливы равенства

sin α = 2sin α/2 * cos α/2, cos α = 2cos2 α/2 – 1.     (1)

Синус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе. Синус острого угла α обозначается символом sin α (читается «синус альфа»).

Среднее геометрическое и среднее арифметическое двух отрезков

Отрезок XY называется средним геометрическим отрезков AB и CD, если XY2 = AB · CD.

Обратимся к рисунку 92. Так как

AH · HB = AB2 · cos2 A · sin2 A,
CH = AC · sin A = AB · cos A · sin A,

Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему косинусов.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Теорема Пифагора

Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора и является одной из важнейших теорем геометрии.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Учебник: Геометрия, 9 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Длина окружности

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

Площадь круга

Выведем формулу площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный 2n-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг (рис. 90, а), и правильный 2n-угольник, вписанный в эту окружность (рис. 90, б).

Площадь четырехугольника

Теорема. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между содержащими их прямыми.

Угол между векторами

Пусть и — два ненулевых вектора.

Формула Герона

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b. Выразим его площадь S через a, b и c. Так как S = ½ bc sin A, то достаточно выразить sin A через a, b и c. Из теоремы косинусов следует, что cos A = (1/(2bc)) (b2 + c2 – a2).

Subscribe to Тригонометрия