Многоугольники

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

Вопросы для повторения "Площадь"

1. Какие многоугольники называются равносоставленными?

2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности.

3. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр?

4. Какие свойства площадей называются основными?

5. Какие многоугольники называются равновеликими? В чем заключается теорема Бойяи–Гервина?

6. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

Площадь круга

Выведем формулу площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный 2n-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг (рис. 90, а), и правильный 2n-угольник, вписанный в эту окружность (рис. 90, б). Их площади Sоп и Sвп выражаются формулами вида (5) и (6):

Sоп = ½ QnR,
Sвп = ½ QnR cos2 180º/2n,

Длина окружности

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

В 8 классе мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну (см. «Введение»).

Рассмотрим окружность радиуса R и два правильных n-угольника — вписанный в эту окружность и описанный около нее. Выразим стороны, периметр и площади этих n-угольников через радиус R.

Вопросы и задачи "Площадь многоугольника"

69. а) Точки M и N — середины сторон AB и AC остроугольного треугольника ABC, отрезки BH и CK — перпендикуляры, проведенные из точек B и C к прямой MN. Докажите, что четырехугольник BCKH и треугольник ABC равносоставлены.
б) Найдите периметр квадрата с площадью 25 см2.
в) Как изменится площадь прямоугольника, если: две противоположные стороны увеличить в k раз; все стороны увеличить в k раз; две противоположные стороны увеличить в k раз, а две другие стороны уменьшить в k раз?

Площадь многоугольника

С понятием площади мы часто встречаемся в повседневной жизни. Например, каждый из нас понимает, что означают слова «площадь квартиры равна пятидесяти шести квадратным метрам».

Задачи повышенной трудности "Многоугольники"

214. Сколько углов, меньших 10º, может иметь выпуклый многоугольник?

215. Пять углов выпуклого многоугольника равны 140º каждый, а остальные углы – острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

216. Дан выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что A1A2 – A4A5 = A5A6 – A2A3 = A3A4 – A6A1.

Дополнительные задачи "Многоугольники"

§ 13

67. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если три угла равны, а четвертый вдвое больше каждого из них.

68. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике найдутся два соседних угла, сумма которых: а) не меньше 180º; б) не больше 180º.

69. Докажите, что в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5: а) найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180º; б) найдется не более трех нетупых углов.

70. Сумма углов выпуклого 2n-угольника в k раз больше суммы углов выпуклого n-угольника, где k — натуральное число. Найдите k и n.

Вопросы для повторения "Параллельность"

  1. Объясните, какая фигура называется ломаной.
  2. Какая ломаная называется замкнутой? Какая ломаная называется простой?
  3. Какая фигура называется многоугольником? Что такое стороны, вершины и диагонали многоугольника?
  4. Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности?
  5. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
  6. Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. Чему равна сума его внешних углов?

Pages

Subscribe to RSS - Многоугольники