Параллельность

Задачи повышенной трудности "Параллельность"

198. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие MP и CD, не пересекающиеся внутри ни одной из окружностей (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что MC || PD.

199. Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.

Дополнительные задачи "Параллельность"

§ 11

13. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = DE и ∠BAE = ∠CAE. Докажите, что DE || AC.

14. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника ABC пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что DE || AC.

15. В четырехугольнике ABCD стороны AB и BC, CD и DA равны. На стороне BC отмечена точка M так, что DM = MB. Докажите, что DM || AB.

16*. Даны прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то a || b.

Вопросы для повторения "Параллельность"

  1. Дайте определение параллельных прямых.
  2. Посмотрите на рисунок 12 и назовите накрест лежащие, соответственные и односторонние углы.
  3. Докажите, что две прямые параллельны, если при пересечении их секущей: а) накрест лежащие углы равны; б) соответственные углы равны; в) сумма односторонних углов равна 180º.
  4. Сформулируйте и докажите основную теорему о параллельных прямых.
  5. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
  6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Вопросы и задачи "Параллельные прямые"

1. а) Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисунке 26, если ∠3 = ∠5; ∠3 = ∠7; ∠3 + ∠6 = 180º; ∠3 = ∠6 = 90º? Ответ обоснуйте.
б) Вершины A и D равных треугольников ABC и BCD лежат по разные стороны от прямой BC, причем AC = BD. Докажите, что AB || CD.
в) Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противоположной основанию, параллельна основанию.
г) Исходя из рисунка 27, докажите, что BC || AD.
д) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка M, равноудаленная от концов его биссектрисы AD. Докажите, что DM || AC.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Доказательство. Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно параллельными сторонами: OA || O1A1, OB || O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Углы с соответственно параллельными сторонами

Свойства параллельных прямых

В пункте 41 мы установили, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Основная теорема о параллельных прямых

Докажем основную теорему о параллельных прямых.

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть a — данная прямая, M — точка, не лежащая на этой прямой. Докажем сначала, что через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.

Признаки параллельности двух прямых

В 7 классе мы говорили о том, что две прямые либо имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют общих точек, т. е. не пересекаются.

Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Глава 4. Параллельность

Представим себе две прямые на плоскости. Они могут пересекаться, в частности, под прямым углом, но могут и не пересекаться. Непересекающиеся прямые называются параллельными. Параллельные прямые (а точнее, отрезки параллельных прямых) мы видим на каждом шагу — два противоположных края прямоугольного стола, строчки текста, две рельсы, нотный стан и т. д. Параллельные прямые используют, например, в архитектуре и технике, столярном деле и кройке, физике и черчении. В геометрии параллельные прямые играют не меньшую роль, чем перпендикулярные.

Subscribe to RSS - Параллельность