Арифметические действия

Деление на десятичную дробь легко заменить делением на натуральное число. Для этого вспомним, что при увеличении делителя и делимого в одно и то же число раз частное не изменяется. Например, 5,7 : 0,19 = 570 : 19 = 30.

В этом примере делитель и делимое были одновременно увеличены в 100 раз. Фактически это увеличение свелось к перемещению запятой в делителе и делимом на два знака вправо, именно столько знаков после запятой и было в делителе.

При письменных вычислениях в столбик обычно записывают уже увеличенные делитель и делимое.

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к выполнению соответствующих действий с натуральными числами. К действиям с натуральными числами приводит и деление десятичных дробей.

Во многих случаях деление десятичной дроби на натуральное число приходится выполнять в столбик.

Разделим, например, десятичную дробь 25,92 на натуральное число 6.

При увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Это свойство позволяет свести умножение десятичных дробей к умножению натуральных чисел. Пусть, например, нужно умножить 7 на 1,2.

Произведение чисел 7 и 1,2 в 10 раз меньше произведения 7 · 12, значит,

7 · 1,2 = (7 · 12) : 10 = 84 : 10 = 8,4

Рассмотрим еще один пример.

Вычислить 0,007 · 0,12.

Сложение и вычитание десятичных дробей, как и аналогичные действия с натуральными числами, выполняются поразрядно.

Правило сложения десятичных дробей
Найдем, например, сумму дробей 49,076 и 5,3405.
1. Подпишем слагаемые одно под другим так, чтобы цифры одноименных разрядов располагались друг под другом, а запятая — под запятой. В разряде десятитысячных в первом слагаемом поставим цифру 0.
2. Сложим числа, не обращая внимания на запятые.
3. В найденной сумме поставим запятую под запятыми слагаемых.

«До базы еще 15 км, - подумал турист, идущий со скоростью . - Вот если бы у меня был велосипед, я бы двигался в 2 раза быстрее».

Площадь прямоугольника с измерениями 5 см и 2 см равна их произведению 5 · 2 = 10 (см²). Если уменьшить сторону, равную 2 см, в 3 раза, то и площадь уменьшится в 3 раза.
S = 5 · = (5 · 2) : 3 = (см²).

Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями легко, так как достаточно при этом складывать и вычитать их числители. Например,

Если же знаменатели дробей различны, поможет такое преобразование как приведение дробей к общему знаменателю:

Если сначала числитель дроби умножить на 3, то дробь в 3 раза увеличится, если же затем умножить на 3 и ее знаменатель, то дробь в 3 раза уменьшится, т. е. в итоге она не изменится!

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.

Это свойство дроби настолько часто используется в математике, что его назвали основным.

К правилу умножения дроби на натуральное число мы пришли, складывая несколько одинаковых дробей. Например,

Этот же результат можно получить и из чисто практических соображений. При делении двух яблок на троих каждому достается по яблока. Если бы яблок было в 5 раз больше (2 · 5 = 10), то каждому досталось бы больше в 5 раз, т. е.

Деление яблока на три части приводит к дроби . Если делить десять яблок, можно разделить на 3 каждое яблоко — получится 30 частей по яблока, и каждому из троих любителей яблок достанется по 10 таких частей, т. е. по яблока. Деление десяти яблок на три равные части привело нас к дроби .