Натуральные числа

История натуральных чисел

Слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, что означает «число». Можно сказать, что арифметика — это наука о числах и действиях с ними.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Египте, Вавилоне, Китае и Индии, накопленные математические знания которых были развиты и продолжены учеными Древней Греции.

Термин натуральное число впервые употребил в VI в. в своей книге «О введении в арифметику» Боэций — римский ученый, переводивший на латынь работы математиков прошлого.

Сравнение чисел

В ряду натуральных чисел каждое следующее больше предыдущего. И наоборот, предыдущее число в этом ряду меньше последующего. При записи результата сравнения двух чисел словам «больше» и «меньше» соответствуют знаки неравенств: «>» - больше, «<» - меньше.

7 > 3, 10 < 20, 358 < 432. Такие записи называют неравенствами.

Если же числа равны, то между ними ставится знак равенства «=» - равно.

5 = 5, 27 = 27. Такие записи называют равенствами.

Десятичная система счисления

Жизнь в современном мире невозможно без чисел. Номера домов и страницы книг, даты, время и температура, зарплаты и цены... с числами мы встречаемся везде.

Люди научились использовать числа еще в глубокой древности.

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете предметов (числа 1, 2, 3, …). Слово «натуральный» происходит от латинского слова «natura», что в переводе означает «природа». Натуральные числа можно назвать естественными числами.

Наименьшее общее кратное нескольких чисел

§ 101. Что такое наименьшее общее кратное. Наименьшим общим кратным нескольких данных чисел называется самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел.

Так, для трех чисел: 6, 15 и 20 наименьшее общее кратное есть 60, так как никакое число меньше 60 не делится на 6, на 15 и на 20, а 60 делится на эти числа.

Укажем два способа нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Наибольший общий делитель нескольких чисел

§ 97. Что такое наибольший общий делитель. Наибольшим общим делителем нескольких чисел называется самое большое число, на которое делятся все эти числа.

Например, наибольший общий делитель трех чисел: 18, 30 и 24 есть 6, потому что 6 есть самое большое число, на которое делятся все эти числа.

Два числа, для которых наибольший общий делитель есть единица, называются взаимно простыми (или относительно простыми). Таковы, например, числа 14 и 15.

Укажем два способа нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел.

Нахождение делителей составного числа

§ 95. Что такое «делитель» числа. Напомним, что делителем данного числа называется число, на которое данное число делится.

Всякое простое число, например число 11, имеем только два делителя: единицу и самого себя.

Всякое составное число имеет более двух делителей; например число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; из них 2 и 3 – простые, а 6 – составной.

§ 96. Нахождение делителей данного числа. Пусть требуется найти делители числа 420. Для этого разложим это число на простые множители:

Разложение чисел на простые множители

§ 90. Простые и составные числа. Всякое число, конечно, делится на единицу и само на себя. Существует очень много чисел, которые делятся не только на единицу и само на себя, но имеют еще и другие делители; например, число 30, кроме единицы и 30, имеет еще делители: 2, 3, 5, 6, и 15.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым (или абсолютно простым, или первоначальным).

О делимости чисел

§ 81. Предварительные замечания. Из четырех арифметических действий два – сложение и умножение – могут быть выполнены всегда (т. е. над любыми числами). Вычитание хотя и не всегда может быть выполнено, но признак его выполнимости очень прост: уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого; поэтому если даны два числа, мы всегда сразу можем узнать, можно ли из первого вычесть второе.

Деление

§ 60. До сих пор мы всегда считали все сомножители данными, а произведение - искомым. Но есть очень много задач, в которых, наоборот, произведение двух чисел дано, а одно из этих чисел – неизвестно.

Задача 1. В классе роздали 75 тетрадей по 3 тетради каждому ученику. Сколько учеников в классе?

Умножение

Задача. Куплено 6 линеек по 85 копеек каждая. Сколько заплатили за все линейки?

Для решения этой задачи мы должны найти сумму 6 одинаковых слагаемых:

85+ 85+ 85+ 85+ 85+ 85 = 510 (= 5р. 10 к ).

В нашей задаче мы эту сумму находим обыкновенным сложением. Но когда число равных слагаемых велико, нахождение сумм посредством сложения утомительно.

А так как складывать одинаковые слагаемые приходится очень часто, то арифметика вырабатывает способы находить такие суммы более быстро.

Pages

Subscribe to RSS - Натуральные числа