Геометрия

Исследовательские задачи по геометрии

  1. Придумайте такое условие параллельности двух данных прямых, которое является: а) необходимым, но недостаточным; б) достаточным, но не необходимым.
  2. Исследуйте, при каком условии задача о построении треугольника. а) по трем медианам; б) по трем высотам имеет решение.
  3. Постройте треугольник по углу A и сторонам AC и BC и исследуйте, при каком условии задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет два решения; г) не имеет решений.
  4. Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 9 точек, через которые проходит окружность Эйлера.

Проектные задачи по геометрии

Проектные задачи выполняются с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».

Глава 4

Задачи по геометрии с практическим содержанием

Глава 4

1. С помощью одного лишь угольника (рис. 117) проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой.

2. С помощью одного лишь угольника постройте середину данного отрезка.

3. На листе бумаги нарисованы отрезки двух лучей, образующих угол, вершина которого лежит вне листа. С помощью циркуля и линейки постройте ту часть биссектрисы этого угла, которая лежит на листе бумаги.

Задачи повышенной трудности "Многоугольники"

214. Сколько углов, меньших 10º, может иметь выпуклый многоугольник?

215. Пять углов выпуклого многоугольника равны 140º каждый, а остальные углы – острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

216. Дан выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что A1A2 – A4A5 = A5A6 – A2A3 = A3A4 – A6A1.

Задачи повышенной трудности "Параллельность"

198. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие MP и CD, не пересекающиеся внутри ни одной из окружностей (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что MC || PD.

199. Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.

Теорема Фалеса

Воспользуемся утверждениями пунктов 59 и 60 для доказательства следующей теоремы.

Теорема. Если на одной из сторон угла от его вершины отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные меду собой отрезки.

Об аксиомах геометрии

В учебнике 7 класса при доказательстве утверждения о сумме острых углов прямоугольного треугольника мы исходили из того, что существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам. А откуда следует, что такой прямоугольник существует? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся построить прямоугольник с заданными сторонами a и b.

Относительность аксиом

Мы подозреваем, что у читателя уже зародился вопрос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самые точные?

Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так может лишь тот, кто считает, что аксиомы – это истины очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, устанавливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно. Напомним: аксиомы – это положения, без доказательств принимаемые в качестве исходных при рассуждениях.

Геометрия Евклида, Лобачевского и Римана

Прекрасная вещь – спелый арбуз. Но как убедиться в его спелости'? Одни стучат по арбузу костяшками согнутых пальцев другие сжимают его с боков, прислушиваясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают хвостик. Однако самый надежный способ – вырезать уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните, какую форму он имеет?

Углы треугольника на окружности

Определение понятий через род и видовое отличие

Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит труда прочесть написанное здесь ее знаками слово «математика».

Слово, закодированное азбукой Морзе

Но если вы даже совсем не понимаете языка радистов, для вас, видимо, не секрет, что из этих точек и тире складываются буквы, из букв – слова, из слов – фразы, из фраз – тексты, посылаемые в эфир.

Так же и в геометрии: из основных геометрических объектов, таких, как точка и прямая, конструируются объекты все более сложные.

Pages

Subscribe to RSS - Геометрия