Треугольники

Треугольники

В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках.

Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCD, мы получи два равных прямоугольных треугольника ABD и CDB.

Прямоугольник разбивается диагональю на два треугольника

Равенство этих треугольников позволяет сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.

Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, - углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2.

Равные углы

Формула Герона

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b. Выразим его площадь S через a, b и c. Так как S = ½ bc sin A, то достаточно выразить sin A через a, b и c. Из теоремы косинусов следует, что cos A = (1/(2bc)) (b2 + c2 – a2). Учитывая, что sin A > 0, из основного тригонометрического тождества находим:


Подкоренное выражение можно разложить на множители:
Вывод формулы Герона

Площадь треугольника

Условимся одну из сторон треугольника называть основанием, а под словом «высота» будем подразумевать ту из высот треугольника, которая проведена к этому основанию.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с основанием BC, равным a, и высотой AH, равной h. Докажем, что площадь S треугольника равна ½ a * h.

Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2.

247. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых MB2 + AC2 = MC2 + AB2.

Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16

149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β.

150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.

151. В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM.

Вопросы для повторения "Решение треугольников"

  1. Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков?
  2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
  3. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Вопросы и задачи "Подобные треугольники"

143. а) Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
б) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC пропорциональны сторонам DE, EF и FD треугольника DEF, ∠C = 50º и ∠D = 70º. Найдите остальные углы треугольников.
в) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5.
г) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

Теоремы об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC, у которых A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, ∠B1 = ∠B (рис. 108). Докажем, что C1A1 = kCA и, следовательно, ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Pages

Subscribe to RSS - Треугольники