Высота

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с высотами AA1, BB1 и CC1 и докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.

Биссектриса угла

142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

  1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника?
  2. Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника?
  3. Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника?
  4. Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
  5. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Вопросы и задачи к параграфу "Признаки равенства треугольников"

35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если OA = OB, то ΔAOC = ΔBOC.

б) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

в) Углы AOC и BOC на рисунке 87 равны. Докажите, что если AO = OB, то ∠ABC = ∠BCA и AQ = BQ.

г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны. Докажите, что если AP = BQ, то ∠ABC = ∠BAC.

д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что ∠CAO = ∠CBO.

е) На рисунке 87 AC = BC и AR = BP. Докажите, что AP = BR.

Вопросы и задачи к параграфу "Равнобедренный треугольник"

27. а) Периметр треугольника ABC, изображенного на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см. Найдите периметр ABD, если AB = BD = DA = DC.

б) Точка M – середина стороны AC треугольника ABC, в котором AB = 6 см. Периметры треугольника ABM и BCM отличаются на 10 см. Найдите сторону BC.

Теорема о высоте равнобедренного треугольника

На рисунке 69 биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке N. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 70).

Subscribe to RSS - Высота