Сравнение и равенство геометрических фигур

Равенство фигур

Геометрические фигуры могут иметь разную форму, как, например, треугольник и окружность, или остроугольный и тупоугольный треугольники. Если же фигуры имеют одну и ту же форму, они могут отличаться друг от друга своими размерами.

Разные геометрические фигуры
Когда и форма, и размеры фигур совпадают, говорят, что фигуры равны.

На рисунке выше равны два круга (под буквами «б» и «г»).

Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

  1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника?
  2. Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника?
  3. Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника?
  4. Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
  5. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения:

если катеты одного прямоуголь­ника соответственно равны катетам другого прямоуголь­ного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101);

Вопросы и задачи к параграфу "Признаки равенства треугольников"

35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если OA = OB, то ΔAOC = ΔBOC.

б) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

в) Углы AOC и BOC на рисунке 87 равны. Докажите, что если AO = OB, то ∠ABC = ∠BCA и AQ = BQ.

г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны. Докажите, что если AP = BQ, то ∠ABC = ∠BAC.

д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что ∠CAO = ∠CBO.

е) На рисунке 87 AC = BC и AR = BP. Докажите, что AP = BR.

Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, BC = B1C1, CA = C1A1 (рис. 84), и докажем, что эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равные треугольники

Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. Рассмотрим равные треугольники ABC и A1B1C1 (рис. 81). Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. вершины, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами, сторонами и углами другого.

Равные треугольники
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е.

Теорема о высоте равнобедренного треугольника

На рисунке 69 биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке N. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 70).

Признак равнобедренного треугольника

Теорема. Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, углы B и C которого равны (рис. 68, а), и докажем, что AB = AC.

Pages

Subscribe to RSS - Сравнение и равенство геометрических фигур