Окружность

Учебник: Геометрия, 8 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 в зависимости от расстояния d между их центрами (рис. 105).

Вопросы и задачи "Вписанная и описанная окружности"

9. а) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O, причем CO = 10 см и ∠C = 60º. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.
б) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите угол BOC, если ∠A = 2α.

Вписанная окружность

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник называется описанным около окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Окружность Эйлера

Докажем одну из самых красивых теорем геометрии — теорему об окружности Эйлера.

Описанная окружность

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник называется вписанным в окружность. Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Свойства ортоцентра треугольника

Докажем сначала, что

Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Теоремы об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Учебник: Геометрия, 7 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Взаимное расположение прямой и окружности

Рассмотрим окружность с центром O радиуса r и прямую a.

Вопросы для повторения к главе "Окружность"
  1. Что такое определение?
  2. Дайте определение окружности?
  3. Объясните, что такое центр, радиус и диаметр окружности. Что такое круг?
  4. Докажите, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.
Вопросы и задания к параграфу "Задачи на построение"

107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.

б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Вопросы и задачи к параграфу "Отрезки и углы, связанные с окружностью"

99. а) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем ∠AOB = ∠COD. Докажите, что AB = CD.

б) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD.

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключенную внутри этого угла.

Дополнительные задачи к главе "Окружность"

109. Докажите, что окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в двух точках.

110. Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой окружности. Найдите угол между отрезками касательных, проведенными из указанной точки к данной окружности.

Задачи повышенной трудности к "Окружность"

176. К двум окружностям с центрами O и O₁ проведены две общие касательные, не пересекающие отрезка OO₁, и одна общая касательная, пересекающая их в точках A, B и касающаяся окружностей в точках A₁, B₁. Докажите, что AA₁ = BB₁.

Задачи с практическим содержанием"Окружность"

1. Градусная мера дуги обода велосипедного колеса, расположенной между двумя соседними спицами, равна 20°. Сколько спиц в колесе?

2. Сколько оборотов должна сделать секундная стрелка часов, чтобы часовая стрелка повернулась на 1°?

Касательная

Докажем теорему о свойстве касательной:

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Определение окружности

Предположение, в котором разъясняется смысл какого-либо слова или словосочетания, называется определением. В нашем учебнике уже были определения, например определение угла, треугольника и т. д. Сформулируем еще одно определение.

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Построение касательной

Задача

Через данную точку A провести касательную к данной окружности с центром O.

Решение

Построение серединного перпендикуляра

Задача

Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Построение угла, равного данному

Задача

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром O и прямую CC₁, касающуюся окружности в точке A (рис. 144). Проведем хорду AB.

Хорды и дуги

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Учебник: Геометрия, 9 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Вопросы для повторения "Площадь"

1. Какие многоугольники называются равносоставленными?

2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности.

Вопросы и задачи "Длина окружности и площадь круга"

77. а) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить в k раз? уменьшить в k раз?
б) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить на 1 см?

Длина окружности

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

О длине окружности

В пункте 110 мы сказали, что точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр Pn правильного вписанного в окружность 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n. Уточним, что имелось в виду.

Уравнение окружности

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50).

Subscribe to Окружность