Угол

Учебник: Геометрия, 7 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Виды треугольников

В пункте 18 мы доказали, что если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов равна 90°, поэтому каждый из них острый.

Вопросы для повторения к главе "Начальные геометрические сведения"
  1. Объясните, что такое отрезок и концы отрезка.
  2. Сколько прямых проходит через две данные точки?
  3. Сколько общих точек могут иметь две прямые? Что означают слова «две прямые пересекаются»? Как называется общая точка двух прямых?
Вопросы и задания к параграфу "Задачи на построение"

107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.

б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Вопросы и задания к параграфу "Простейшие геометрические фигуры"
  1. a) Посмотрите на рисунок 18. Имеют ли общие точки: отрезки AB и CD; прямые AB и CD?
Вопросы и задачи к параграфу "Измерение отрезков и углов"

9. a) На прямой отмечены точки A, B и C так, что AB = 1,22 дм и AC = 6 мм. Найдите длину отрезка BC в сантиметрах. Не забудьте рассмотреть все возможные случаи.

Вопросы и задачи к параграфу "Отрезки и углы, связанные с окружностью"

99. а) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем ∠AOB = ∠COD. Докажите, что AB = CD.

б) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD.

Вопросы и задачи к параграфу "Перпендикулярные прямые"

13. а) Один из смежных углов на 60° меньше другого. Найдите эти углы.

б) Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвернутых угла, один из которых в три раза больше половины другого. Найдите эти углы.

в) Исходя из рисунка 59, докажите, что ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA.

б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD.

в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC.

Вопросы и задачи к параграфу "Равнобедренный треугольник"

27. а) Периметр треугольника ABC, изображенного на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см. Найдите периметр ABD, если AB = BD = DA = DC.

Вопросы и задачи к параграфу "Соотношения между сторонами и углами треугольника"

49. а) На стороне AB треугольника ABC, в котором AC = 14 см, BC = 6 см, отмечена точка M. Может ли отрезок AM быть равным 20 см?

б) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?

Вопросы и задачи к параграфу "Сравнение отрезков и углов"

7. a) Отрезки OA и OB на рисунке 41 равны, а OC < OD. Сравните отрезки AC и BD.

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключенную внутри этого угла.

Допол­нительные задачи к главе "Начальные геометрические сведения"

17. Точка M – середина отрезка AB, а точка N – середина отрезка MB. Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d.

Допол­нительные задачи к главе "Треугольники"

§5 Равнобедренный треугольник

55. Точка C лежит на прямой AB, а точка D не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Задачи повышенной трудности "Начальные геометрические сведения"

134. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые. Известно, что через точку пересечения любых двух из них проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. С помощью рассуждений убедитесь в том, что все данные прямые пересекаются в одной точке.

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ.

Задачи с практическим содержанием "Начальные геометрические сведения"

1. В парке к цветочной клумбе ведут три дорожки (рис. 173). Можно ли проложить прямолинейную дорожку, соединяющую: а) первую и вторую дорожки; б) первую и третью дорожки; в) все три дорожки?


Измерение углов

Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения принимают градус – угол, равный Доля градуса в развернутом угле части развернутого угла.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвернутых угла (углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке 53). Если один из них прямой, то и остальные углы прямые. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке 54.

Прямые углы

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Построение угла, равного данному

Задача

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Признак равнобедренного треугольника

Теорема. Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Проекция отрезка

Проекцией точки M на прямую a называется основание перпендикуляра, проведенного из точки M к прямой a, если точка M не лежит на прямой a

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Докажем сначала, что

катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Смежные и вертикальные углы

Два угла, у которых одна сторона – общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. На рисунке 52 изображены смежные углы AOB и BOC.

Сравнение отрезков и углов

Пусть даны два отрезка – AB и CD. Наложим отрезок CD на луч AB так, чтобы точка C совместилась с точкой A.

Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Теорема об углах равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника (рис. 66, а).

Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Треугольник

Выберем какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Соединив их тремя отрезками, получим геометрическую фигуру, называемую треугольником (рис. 65, а).

Угол

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Общее начало двух лучей называется вершиной угла, а сами лучи – сторонами угла.

Учебник: Математика, 5 класс (Муравины)
Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, - углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2.

Учебник: Геометрия, 8 класс (В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, 2001)
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Subscribe to Угол