Дроби

Учебник: Математика, 5 класс (Муравины)
Бесконечные десятичные дроби

В предыдущем пункте вы научились делить десятичные дроби на натуральные числа и использовали это умение для перевода обыкновенных дробей в десятичные. Во всех случаях на каком-то шаге деления в остатке получался нуль, и деление заканчивалось. Однако так бывает далеко не всегда.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к выполнению соответствующих действий с натуральными числами. К действиям с натуральными числами приводит и деление десятичных дробей.

Деление дроби на натуральное число

К правилу умножения дроби на натуральное число мы пришли, складывая несколько одинаковых дробей. Например,

Сложение одинаковых дробей - умножение дроби на натуральное число

Деление на десятичную дробь

Деление на десятичную дробь легко заменить делением на натуральное число. Для этого вспомним, что при увеличении делителя и делимого в одно и то же число раз частное не изменяется. Например, 5,7 : 0,19 = 570 : 19 = 30.

Деление на дробь

«До базы еще 15 км, - подумал турист, идущий со скоростью 4½. - Вот если бы у меня был велосипед, я бы двигался в 2 раза быстрее».

Дробь как результат деления натуральных чисел

Деление яблока на три части приводит к дроби 1/3.

История десятичных дробей

История десятичных дробей тесно связана с метрологией — учением о мерах. Уже во II в. до н. э. Существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в. появилась десятичная система мер массы и объема. Тогда же возникло и понятие десятичной дроби.

История обыкновенных дробей

С древних времен людям приходилось считать предметы и измерять длины, время, площади, вести расчеты за покупки и пр. Не всегда результат выражался натуральным числом, приходилось учитывать части и доли.

Округление чисел

Определяя координаты точки на координатном луче, мы последовательно выясняем, чему равна целая часть координаты, какая цифра стоит в разряде десятых, сотых, тысячных и т. д. Этот процесс может оказаться бесконечным.

Основное свойство дроби

Если сначала числитель дроби умножить на 3, то дробь в 3 раза увеличится, если же затем умножить на 3 и ее знаменатель, то дробь в 3 раза уменьшится, т. е. в итоге она не изменится!

Понятие десятичной дроби

Таблица разрядов выглядит примерно так:

Таблица разрядов

Понятие о долях и дробях

Вы уже встречались с долями, которые образуются при делении целого на равные части.

Процентные расчеты

Мы уже говорили о том, что некоторые доли целого имеют свои собственные названия: половина, треть и четверть. Эти доли выражают довольно большие части целого. А в тех случаях, когда нужны маленькие части, обычно используют проценты.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей, как и аналогичные действия с натуральными числами, выполняются поразрядно.

Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями легко, так как достаточно при этом складывать и вычитать их числители. Например,

Пример сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями

Рассмотрим отрезки AF, AB и FM.

Отношения отрезков

С помощью дробей можно выразить длины отрезков AF и FM через длину отрезка AB:

Сравнение десятичных дробей

Приложим линейку к координатному лучу OA, изображенному на рисунке.

Координатный луч с делениями

Сравнение дробей

Легко сравнивать дроби, числители которых равны.

Среднее арифметическое чисел

Во многих видах спорта выступление участника оценивается одновременно несколькими судьями. Оценки судей часто оказываются различными. Чтобы объективно оценить выступление спортсмена, выводится так называемый средний балл.

Умножение десятичных дробей

При увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Это свойство позволяет свести умножение десятичных дробей к умножению натуральных чисел. Пусть, например, нужно умножить 7 на 1,2.

Умножение дроби на натуральное число

Как известно, сумма одинаковых натуральных чисел — это произведение одного из них на число слагаемых. Точно так же сумма одинаковых дробей — это произведение одной из этих дробей на их количество в сумме:

Умножение на дробь

Площадь прямоугольника с измерениями 5 см и 2 см равна их произведению 5 · 2 = 10 (см2). Если уменьшить сторону, равную 2 см, в 3 раза, то и площадь уменьшится в 3 раза.

Учебник: Арифметика. Киселев А.П. (1852-1940)
Вычитание дробных чисел

§ 136. Определение и вывод правила. Вычитание есть действие, состоящее в том, что от большего данного числа (уменьшаемого) отнимается часть, равная меньшему данному числу (вычитаемому).

Деление десятичных дробей

§ 169. Деление на целое число. Приближенное частное. Пусть требуется разделить 39,47 на 8. Расположим действие так,как оно располагается при делении целых чисел.

Деление десятичной дроби на целое

Деление дробных чисел

§ 150. Определение. Деление есть действие (обратное умножению), состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель (частное).

Изменение величины дроби с изменением ее членов

§ 125. Увеличение или уменьшение обоих членов дроби в одинаковое число раз.

Нахождение дроби данного числа

§ 137. Находить дробь данного числа приходится при решении очень многих задач. Примером могут служить следующие задачи:

Решение задач на нахождение дроби от заданных значений

Нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби

§ 148. Задачи и правило. Прежде чем перейти к делению дробных чисел, полезно рассмотреть, как можно находить неизвестное число, если дана величина какой-нибудь его дроби. Для ясности мы изложим этот вопрос на следующих простых задачах.

Нахождение процентов данного числа

§ 138. Что такое проценты. Мы уже знаем, что некоторые наиболее употребительные доли единицы получили особые названия; одну вторую называют половиной, одну третью долю третью, одну четвертую четвертью.

Обоснование теории периодических дробей

§ 185. Замечание. Предыдущее изложение обращения периодических дробей в обыкновенные не вполне строго; в нем, между прочим, допускается (§ 182), что если каждое слагаемое увеличится в несколько раз, то и сумма увеличится во столько же раз.

Обращение обыкновенных дробей в десятичные

§ 174. Предварительные замечания. Так как действия над десятичными дробями производятся проще, чем над дробями обыкновенными, то бывает полезно обращать обыкновенные дроби в десятичные. Укажем два способа такого обращения.

Обращение периодических дробей в обыкновенные

§ 181. Предварительное замечание. В § 180 мы видели, что при обращении простой дроби в десятичную всегда получается десятичная дробь либо конечная, либо периодическая.

Основные понятия об обыкновенных дробях

§ 115. Доли единицы. Мы уже встречались с такими единицами измерения, которые могут быть разделены на равные части. Так, 1 м может быть разделен на 100 см; одни сутки могут быть разделены на 24 часа.

Основные свойства десятичных дробей

§ 158. Десятичные доли. Доли, получаемые от разделения какой-нибудь единицы на 10, на 100, на 1000, вообще на такое число равных частей, которое выражается единицей с одним или с несколькими нулями, называются десятичными долями.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

§ 132. Объяснение. Возьмем для примера две дроби 5/12 и 7/15 и зададимся вопросом, нельзя ли эти дроби выразить в одинаковых долях единицы.

Пропорции

§ 195. Пропорции. Пропорцией называется равенство двух отношений. Так, равенства

Пропорции

Сложение дробных чисел

§ 134. Определение и вывод правила. Сложение дробных чисел можно определить так же, как и сложение целых чисел (§ 19), а именно:

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей

Сложение десятичных дробей

Сокращение дроби

§ 129. Что называется «сокращением» дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей, дробью с меньшими членами путем деления числителя и знаменателя па одно и то же число.

Умножение дробных чисел

§ 140. Определения.

Subscribe to Дроби