Сокращение дроби

§ 129. Что называется «сокращением» дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей, дробью с меньшими членами путем деления числителя и знаменателя па одно и то же число.

Перейти на статью

Пропорциональная зависимость величин

§ 202. Величины прямо пропорциональные. Пусть 3 м сукна стоят 360 рублей, тогда вдвое большее количество сукна, т. е. 6 м, стоят вдвое больше, т. е. 360 · 2 = 720 рублей; втрое большее количество сукна., т.е. 9 м, стоят втрое больше, т.е. 360 · 3 = 1080 (рублей), и т. д. Вообще, если данное количество товара увеличить в любое число раз, то и стоимость его увеличится во столько же раз; если данное количество товара уменьшить в несколько раз, то и стоимость его уменьшится во столько же раз.

Перейти на статью

Задачи на пропорциональное деление

§ 209. Задача 1. Разделить 84 на 3 части пропорционально ряду чисел: 7, 5 и 2. Это надо понимать так: разделить 84 на такие три части, чтобы первая часть относилась к 7, как вторая к 5 и как третья к 2. Назовем искомые части буквами x1, x2, x3. В задаче требуется, чтобы эти части удовлетворяли следующим пропорциям: т. е. мы приходим к следующему правилу:

Перейти на статью

Вычитание дробных чисел

§ 136. Определение и вывод правила. Вычитание есть действие, состоящее в том, что от большего данного числа (уменьшаемого) отнимается часть, равная меньшему данному числу (вычитаемому). Можно также сказать, что вычитание есть действие (обратное сложению), с помощью которого по данной сумме двух двух слагаемых и по одному из этих слагаемых отыскивается другое слагаемое. 1) Пусть даны для вычитания дроби с одинаковыми знаменателями, например такие:

Перейти на статью

Нахождение процентов данного числа

§ 138. Что такое проценты. Мы уже знаем, что некоторые наиболее употребительные доли единицы получили особые названия; одну вторую называют половиной, одну третью долю третью, одну четвертую четвертью. Очень часто (например при учете продукции и при денежных расчетах) употребляются сотые доли; поэтому они также получили особое название. Сотая часть какого-нибудь числа называется процентом этого числа. Поэтому, например, 5 процентов какого-нибудь числа означает то же самое, что 5 сотых (или одна двадцатая) этого числа.

Перейти на статью

Умножение дробных чисел

§ 140. Определения. 1) Умножение дробного числа на целое определяется так же, как и умножение целых чисел, а именно: умножить какое-нибудь число (множимое) на целое число (множитель) – значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых – множителю. Так умножить на 5 – значит найти сумму:

Перейти на статью

Нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби

§ 148. Задачи и правило. Прежде чем перейти к делению дробных чисел, полезно рассмотреть, как можно находить неизвестное число, если дана величина какой-нибудь его дроби. Для ясности мы изложим этот вопрос на следующих простых задачах. Изменим задачи, данные в § 137, таким образом: Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно, прошел расстояние в 35 км в часа. Сколько километров проходит этот поезд в час?

Перейти на статью

Изменение величины дроби с изменением ее членов

§ 125. Увеличение или уменьшение обоих членов дроби в одинаковое число раз. Обратимся снова к рис. 2; в § 120 мы делили каждую четверть на 2 равные части; мы получили, таким образом, восьмые доли; в трех четвертях содержится 6 восьмых, и потому как мы видели, дробь равна дроби .

Перейти на статью

Нахождение дроби данного числа

§ 137. Находить дробь данного числа приходится при решении очень многих задач. Примером могут служить следующие задачи: Из этих задач выводим правило: чтобы найти величину какой-нибудь дроби данного числа, надо уменьшить это число во столько раз, сколько единиц в знаменателе дроби, и результат увеличить во столько раз, сколько единиц в числителе дроби.

Перейти на статью

Деление дробных чисел

§ 150. Определение. Деление есть действие (обратное умножению), состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель (частное). Так как множимое и множитель могут меняться местами, то величина частного не зависит от того, означает ли это частное множимое или множитель.

Перейти на статью

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

§ 132. Объяснение. Возьмем для примера две дроби и и зададимся вопросом, нельзя ли эти дроби выразить в одинаковых долях единицы. Дробь несократима; поэтому знаменатели дробей, которым может равняться дробь , должны быть числами, кратными 12.

Перейти на статью

Сложение дробных чисел

§ 134. Определение и вывод правила. Сложение дробных чисел можно определить так же, как и сложение целых чисел (§ 19), а именно: сложение есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел (слагаемых) соединяются в одно число (сумму), содержащее в себе все единицы слагаемых и все их доли. 1) Пусть требуется найти сумму нескольких дробей с одинаковыми знаменателями, например таких:

Перейти на статью

Разложение чисел на простые множители

§ 90. Простые и составные числа. Всякое число, конечно, делится на единицу и само на себя. Существует очень много чисел, которые делятся не только на единицу и само на себя, но имеют еще и другие делители; например, число 30, кроме единицы и 30, имеет еще делители: 2, 3, 5, 6, и 15. Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым (или абсолютно простым, или первоначальным). Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным (или сложным).

Перейти на статью

Наименьшее общее кратное нескольких чисел

§ 101. Что такое наименьшее общее кратное. Наименьшим общим кратным нескольких данных чисел называется самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел. Так, для трех чисел: 6, 15 и 20 наименьшее общее кратное есть 60, так как никакое число меньше 60 не делится на 6, на 15 и на 20, а 60 делится на эти числа. Укажем два способа нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Перейти на статью

Наибольший общий делитель нескольких чисел

§ 97. Что такое наибольший общий делитель. Наибольшим общим делителем нескольких чисел называется самое большое число, на которое делятся все эти числа. Например, наибольший общий делитель трех чисел: 18, 30 и 24 есть 6, потому что 6 есть самое большое число, на которое делятся все эти числа. Два числа, для которых наибольший общий делитель есть единица, называются взаимно простыми (или относительно простыми). Таковы, например, числа 14 и 15. Укажем два способа нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел.

Перейти на статью

Признаки делимости

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле. делится или не делится данное число на некоторые другие числа. Эти признаки мы теперь и рассмотрим. § 82. Делимость суммы и разности. При выводе признаков делимости мы часто будем пользоваться следующими свойствами суммы и разности: 1) если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число; 2) если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся на какое-нибудь число, то сумма не разделится на это число;

Перейти на статью

Нахождение делителей составного числа

§ 95. Что такое «делитель» числа. Напомним, что делителем данного числа называется число, на которое данное число делится. Всякое простое число, например число 11, имеем только два делителя: единицу и самого себя. Всякое составное число имеет более двух делителей; например число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; из них 2 и 3 – простые, а 6 – составной. § 96. Нахождение делителей данного числа. Пусть требуется найти делители числа 420. Для этого разложим это число на простые множители:

Перейти на статью

Обоснование теории периодических дробей

§ 185. Замечание. Предыдущее изложение обращения периодических дробей в обыкновенные не вполне строго; в нем, между прочим, допускается (§ 182), что если каждое слагаемое увеличится в несколько раз, то и сумма увеличится во столько же раз. Предложение это, вполне обоснованное для сумм с конечным числом слагаемых, не может быть применено без особого доказательства к суммам с бесконечным числом слагаемых (каковы все периодические бесконечные дроби). Строгая теория периодических дробей основана на понятии о пределе. Изложим вкратце эту теорию.

Перейти на статью

Обращение периодических дробей в обыкновенные

§ 181. Предварительное замечание. В § 180 мы видели, что при обращении простой дроби в десятичную всегда получается десятичная дробь либо конечная, либо периодическая. Пусть теперь, наоборот, дана периодическая десятичная дробь, и мы хотим узнать, какова та простая дробь, при разложении которой получается данная периодическая дробь. Для этого сначала, рассмотрим, какие периодические дроби получаются от обращения таких обыкновенных, у которых числитель есть единица, а знаменатель – цифра 9, написанная один или несколько раз подряд,

Перейти на статью

Обращение обыкновенных дробей в десятичные

§ 174. Предварительные замечания. Так как действия над десятичными дробями производятся проще, чем над дробями обыкновенными, то бывает полезно обращать обыкновенные дроби в десятичные. Укажем два способа такого обращения.

Перейти на статью