Противоположные многочлены

Мы знаем, что два противоположных числа имеют одну и ту же абсолютную величину и противоположные знаки. Мы знаем также, что сумма двух противоположных чисел равна нулю [например, 5 + (–5) = 0], и, обратно, если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа противоположные. Рассмотрим два таких многочлена, которые состоят из членов, одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Возьмем, например, многочлены:

Перейти на статью

Вычитание рациональных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число. Другими словами, вычесть из какого-либо числа a число b — значит найти такое третье число c, чтобы было справедливо равенство: c + b = a.

Перейти на статью

Умножение

При установлении правил умножения для любых рациональных чисел положим в основу те же требования, что и для сложения рациональных чисел (см. § 12). Возьмем опять задачу на изменение температуры. Температура изменяется каждый час на a0. В настоящий момент термометр показывает 00. Сколько градусов покажет термометр через t часов? Как и раньше, будем обозначать понижение температуры отрицательными числами.

Перейти на статью

Функция y = kx

В § 73 было дано определение прямо пропорциональной зависимости между двумя величинами. Она выражалась равенством: y = kx, (1)

Перейти на статью

График функции y = x² + n

С графиком функции y = x2 мы уже встречались (§ 89). Он представляет собой линию, называемую параболой (черт. 65). В дальнейшем для краткости вместо слов «парабола, изображающая функцию y = x2», будем говорить «парабола y = x2». Напомним, что для параболы y = x2 ось ординат является осью симметрии; ее называют осью параболы.

Перейти на статью

Трехчлен второй степени

Общий вид трехчлена второй степени, как мы знаем, ax2 + bx + c, где a, b и с — любые числа (a ≠ 0). Давая x любые значения, будем получать соответствующие значения трехчлена. Значит, трехчлен является функцией аргумента x. Обозначим эту функцию через y: y = ax2 + bx + c (1)

Перейти на статью

Возрастание и убывание квадратного трехчлена

Рассматривая параболу y = x2, мы видим, что при положительных значениях x линия «поднимается вверх», а при отрицательных «опускается вниз». Из чертежа 78 видно, что если взять два положительных значения аргумента x1 и x2, то большему значению аргумента x соответствует большее значение функции y: если x12, то и y12.

Перейти на статью

График функции y = ³√x

Для построения графика функции y = ³√x составим таблицу кубических корней (приближенные значения):Эти значения можно взять, например, из таблицы В. М. Брадиса и построить на плоскости соответствующие точки. График функции y = ³√x изображен на чертеже 83.

Перейти на статью

Примеры графического решения уравнений и систем уравнений

Пример 1. Решить уравнение: x3 + x – 2 = 0. Это уравнение кубическое, так как содержит неизвестное x в кубе. Такие уравнения в школьном курсе алгебры по формулам не решаются. Решим данное уравнение графически. Запишем уравнение так: x3 = –x + 2.

Перейти на статью

Понятие о функциональной зависимости

Несколько учеников покупают в магазине одинаковые тетради. Одна тетрадь стоит 2 коп. Если один ученик купит 3 тетради, а другой 5, то и плата их за покупку будет различна; первый заплатит 6 коп., второй — 10 коп. Мы здесь имеем дело с тремя величинами: ценой тетради, числом купленных тетрадей и стоимостью всей покупки. Из этих трех величин первая (цена одной тетради) является постоянной, а две остальные — переменными, они принимают различные значения.

Перейти на статью

Способы задания функции

Из предыдущего параграфа следует, что основным признаком функциональной зависимости между двумя переменными величинами является наличие соответствия между значениями этих величин: каждому (допустимому) значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой. Как только такое соответствие установлено, то говорят, что задана функция. Это соответствие может быть установлено различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

Перейти на статью

Понятие о кубическом корне

Задача. Бак имеет форму куба, объем бака равен 8 м3. Найти длину, ширину и высоту бака. Так как бак представляет собой куб, то его длина, ширина и высота равны между собой и равны ребру x куба. По условию задачи объем куба x3 равен 8 м3. Значит, мы получаем уравнение: x3 = 8. Требуется найти число x, куб которого равен числу 8. Искомое число равно 2, так как 23 = 8.

Перейти на статью

Приближенное извлечение кубического корня

Мы знаем, что для приближенного извлечения квадратных корней можно пользоваться специальными таблицами. Точно так же таблицами можно пользоваться и для приближенного извлечения кубического корня. Кубические корни встречаются значительно реже, чем квадратные, поэтому в пособии В. М. Брадиса нет специальной таблицы кубических корней. Для извлечения кубических корней пользуются таблицей кубов.

Перейти на статью

Аргументы и функция

Вернемся снова к покупке тетрадей, о которой говорилось в § 115. Мы видели, что в этом процессе участвуют две переменные величины: число купленных тетрадей и их стоимость. Но легко видеть, что эти две величины играют в процессе покупки неодинаковую роль. Количество тетрадей устанавливает сам ученик; эта величина может принимать произвольные значения: 3; 5; 8 и т. д. (Конечно, эти значения должны быть допустимыми; нельзя купить 5/2 или –3 тетради.) Значение же другой переменной величины — стоимости покупки — будет уже зависеть от значения первой — от числа купленных тетрадей.

Перейти на статью