Объединение множеств

Помните загадку-шутку: два отца и два сына, а всего трое – как такое может быть?

По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед. Но даже если это известно, остается поразмышлять вот над чем: в чем, собственно, парадоксальность загадки?

Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе загадка не имела бы решения: два плюс два никак не равно трем). Суть дела относится к теории множеств.

Два множества фигурируют здесь: множество отцов (отец и дед мальчика) и множество сыновей (мальчик и его отец; доводящийся сыном деду). Решить загадку – значит составить из них третье множество, которое насчитывало бы три элемента.

Определяющий признак этого третьего множества в том, что состоит оно из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат либо первому, либо второму множеству, то есть хотя бы одному из них – множеству отцов или множеству сыновей.

Когда новое множество строится из исходных по такому правилу, то оно называется объединением исходных множеств.

Итак, множество, состоящее из мальчика, его отца и его деда, есть объединение множества отцов и множества сыновей.

Иллюстрация объединения двух множеств

Отец мальчика принадлежит обоим. Но в их объединение он входит только один раз, иначе это противоречило бы понятию «множества» ни один элемент не может содержаться в нем несколько раз. Так и объясняется парадокс, которым озадачивает шутка про двух отцов и двух сыновей.

Чтобы получше рассмотреть смысл нового понятия – объединения множеств, – возьмем бинокль.

Поглядите в левый окуляр и запомните все, что видно в него. Потом в правый окуляр. А теперь глядите в оба– что видите вы на этот раз? Все то, что попадает в поле зрения либо левого, либо правого окуляра.

Применяя уже знакомый нам термин, можно сказать, что множество точек характерной фигуры, напоминающей поваленную на бок восьмерку, есть объединение двух точечных множеств – двух накладывающихся друг на друга кругов.

Идею объединения множеств можно усмотреть во многих математических формулировках Новый пример будет связан с понятием абсолютной величины действительного числа. Как она определяется? Если число неотрицательное, то его абсолютная величина совпадает с ним самим. Скажем, абсолютная величина десяти равна десяти. Абсолютная величина нуля равна нулю. А чтобы получить абсолютную величину отрицательного числа, надо взять его с обратным знаком. Скажем, абсолютная величина минус семи равна, семи. (Заметим попутно, что абсолютная величина любого числа в силу данного определения не может быть отрицательной.)

Зная это, разберемся теперь, что означает выражение: «Множество чисел, по абсолютной величине больших единицы». Очевидно, все элементы этого числового множества – это либо положительные числа, большие единицы, либо отрицательные числа, меньшие минус единицы, налицо объединение двух числовых множеств.

Математика: