Декартово произведение множеств

Взгляните на левый рисунок на этой странице.

Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии титанического матча между Капабланкой и Алехиным, состоявшегося осенью 1927 года.

Пример произведения множеств

Мы надеемся, что любитель шахмат получит некоторое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой партии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели пример, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто, что имеет непосредственное отношение к теме нашего разговора о теории множеств.

Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду в ней встречаются характерные пары, образованные из строчной латинской буквы и натурального числа: f6, b2, c1...

На прописные латинские буквы обращать внимание не будем – это сокращенные обозначения фигур. Чтобы они не составили нам помехи, уберем фигуры с доски.

Что останется на ней тогда? Только лишь разметочные знаки. Внизу – горизонтальный ряд букв, от a до h. Слева– вертикальный столбик чисел, от 1 до 8.

Каждая буквенно-числовая пара, о которой говорилось выше, образуется так: сначала берется элемент из первого, буквенного множества и за ним ставится элемент, выбранный из второго, числового множества.

Кстати, само слово «пара» – термин теории множеств. Так называются два элемента, расположенных в определенном порядке (поэтому часто говорят не «пара», а «упорядоченная пара»).
Не довольствуясь несколькими вышеприведенными примерами, образуем всевозможные пары описанного вида. Их множество мы назовем декартовым произведением двух исходных множеств – буквенного и числового (читатель, вероятно, уже заметил про себя, что новообразованное множество насчитывает 64 элемента, ровно по числу клеток шахматной доски – ведь каждой клетке соответствует своя пара, и, наоборот, каждая пара кодирует свою клетку).

Понятие, с которым мы только что познакомились, настолько важно, что мы приведем особо его строгое определение: декартовым (или прямым) произведением одного множества на другое называется множество всевозможных пар, первые элементы которых принадлежат одному множеству, а вторые – другому.

Теперь давайте разберем еще одну партию.

Обратное произведение множеств

Читатель, даже не очень сведущий в шахматах, вероятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно, мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно-числовых парах (2е, 4d, 7c) на сей раз сначала идут цифры, а потом уже буквы. А ведь в данном выше определении пары подчеркивалось, что порядок элементов в ней существен. И потому мы не можем назвать равными, скажем, две такие пары: e2 и 2e. Стало быть, множество буквенно-числовых пар, о которых говорилось в предыдущем разделе (f6, e2, c1, d4 и т.п.), не равно множеству пар, появившихся в нашем рассказе сейчас (2e, 6f, 4d, 1c и т. п.), – ведь эти множества состоят не из одних и тех же элементов.

Вывод? Он очевиден: произведение двух различных множеств меняется от перемены мест сомножителей – в противоположность произведению чисел, для которого справедлив переместительный закон. Для множеств такого закона нет.

Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь в том случае, когда перемножаемые множества равны. Впрочем, и здесь все не так просто.

Возьмем только что применявшееся нами множество целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В произведении получится множество всевозможных пар вида:
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4)...

Не кажется ли вам повторением наличие в этой строчке пар (1,2) и (2,1)?

Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если вы ответите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы одинаковыми элементами, потому что расположены эти элементы а разном порядке.

Совокупность упорядоченных пар, на первом месте в которых стоит элемент одного множества, а на втором– элемент другого, мы назвали декартовым произведением первого множества на второе.

Можно говорить не только о парах, но и, скажем, о тройках – разумеется, тоже упорядоченных. Например, все обеды из трех блюд – это тройки, первый элемент которых принадлежит множеству первых блюд, второй – множеству вторых, третий – множеству третьих. (Упорядоченность таких троек подчеркивается названиями блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды, составленные во всевозможных сочетаниях по естественному порядку блюд, очевидно, образуют декартово произведение трех множеств, где первый сомножитель – это множество первых блюд, второй и третий – множества вторых и третьих блюд соответственно.

Три блюда, конечно, не предел для тренированного едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан угощал достославного барона Мюнхаузена? Согласно уверениям барона, о честности которого ходят легенды, число блюд в этих обедах было умопомрачительно большим, так что для математического описания тех знаменитых трапез потребовалось бы понятие упорядоченной n-ки.

(Читатель, вероятно, знает, что в математике буква n применяется для обозначения натуральных чисел и преимущественно в тех случаях, когда под нею можно подразумевать произвольное натуральное число.)

Таким понятием располагает теория множеств. Упорядоченной n-кой называется набор из n элементов, где на первом месте стоит элемент первого множества, на втором – второго и так далее – до n-ного. Всевозможные такие n-ки образуют декартово произведение тех n множеств, из которых берутся элементы для образования упорядоченных n-ок.

Сомножители в произведениях множеств могут быть и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например, что получится, если множество букв русского алфавита трижды умножить на себя. Очевидно, в результате получится множество упорядоченных троек букв, иными словами, множество всех трехбуквенных слов русского языка, осмысленных и не имеющих смысла: бал, лоб, мул, дыр, бул, щыл...

Заметим, что упорядоченные n-ки из элементов некоторого множества называют еще n-мерными векторами, определенными на этом множестве. (Наряду с термином «вектор» иногда в таких случаях употребляется равнозначный ему термин «кортеж».)

Элементы, составляющие ту или иную n-ку, называются ее компонентами, или координатами, и различаются по порядку: первая компонента, вторая и так далее.

Математика: