Алгебра множеств
Читатель, подробно разбиравший нарисованные на предыдущих страницах диаграммы Венна, конечно, обратил внимание на строчки символов, которыми сопровождался каждый рисунок.
Большие латинские буквы повторяют в этих строчках обозначения множеств, изображенных на картинках, а значки, соединяющие буквы, обозначают операции над множествами, проиллюстрированные картинками.
Эти цепочки символов навевают воспоминания о формулах школьной алгебры, где маленькие латинские буквы, обозначавшие вещественные числа, соединялись знаками арифметических операций.
Такая аналогия совершенно справедлива.
Ведь что собой представляют законы алгебры? Высказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (переместительный закон); умножить сумму на число — это все равно, что умножить на число каждое слагаемое в отдельности и результаты сложить (распределительный закон умножения относительно сложения).
a + b = b + a
a (b + c) = ab + ac
Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к которым можно применять эти высказывания. Следовательно, выражаемые ими равенства выполняются всегда, какие конкретные числа в них ни подставишь. (Заметим, что равенство двух алгебраических выражений, выполняющееся при подстановке в него любых элементов некоторого числового множества, называется тождеством, определенным на этом множестве.)
Освоив свод таких законов, можно с успехом заниматься тем, что называется алгебраическими преобразованиями: упрощать громоздкие выражения, придавать им вид, удобный для тех или иных вычислений, и т. д.
Подобный свод законов – алгебра множеств – существует и для операций, при помощи которых из одних множеств образуются другие, – для объединения, пересечения, дополнения.
Таблица 1
| Коммуникативность объединения | A ∪ B = B ∪ A | a + b = b + a | Коммуникативность сложения |
| Коммуникативность пересечения | A ∩ B = B ∩ A | a * b = b * a | Коммуникативность умножения |
| Ассоциативность объединения | A ∪ (B ∪ C) = = (A ∪ B) ∪ C |
a + (b + c) = = (a + b) + c |
Ассоциативность сложения |
| Ассоциативность пересечения | A ∩ (B ∩ C) = = (A ∩ B) ∩ C |
a (b * c) = = (a * b) c |
Ассоциативность умножения |
| Дистрибутивность пересечения относительно объединения | A ∩ (B ∪ C) = = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
a (b + c) = = a * b + a * c |
Дистрибутивность умножения относительно сложения |
| Дистрибутивность объединения относительно пересечения | A ∪ (B ∩ C) = = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) |
||
| A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ A = A A ∩ A = A |
|||
| Свойства пустого множества | A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ |
a + 0 = a a * 0 = 0 |
Свойства нуля |
| Свойства универсального множителя | A ∩ U = A A ∪ U = U |
||
| Законы де Моргана | ‾(A ∩ B) = ‾A ∪ ‾B ‾(A ∪ B) = ‾A ∩ ‾B |
||
| A ∪ ‾A = U A ∩ ‾A = ∅ ‾A = A ‾U = ∅ ‾∅ = U |
Вместо «коммуникативность» иногда говорят «переместительный закон» или «переместительное свойство», вместо «ассоциативность» – «сочетательный закон», «сочетательное свойство», вместо «дистрибутивность» - «распределительный закон», «распределительное свойство».
В чем-то оба этих свода законов, эти две алгебры (чисел и множеств) похожи. Иными словами, все эти формулы носят характер тождеств. Подобно формулам школьной алгебры, они используются для того, чтобы преобразовывать выражения, содержащие символические обозначения множеств, – упрощать их, придавать им определенный вид и т. д.
Математика: