Алгебра множеств

Читатель, подробно разбиравший нарисованные на предыдущих страницах диаграммы Венна, конечно, обратил внимание на строчки символов, которыми сопровождался каждый рисунок.
Большие латинские буквы повторяют в этих строчках обозначения множеств, изображенных на картинках, а значки, соединяющие буквы, обозначают операции над множествами, проиллюстрированные картинками.

Эти цепочки символов навевают воспоминания о формулах школьной алгебры, где маленькие латинские буквы, обозначавшие вещественные числа, соединялись знаками арифметических операций.

Такая аналогия совершенно справедлива.

Ведь что собой представляют законы алгебры? Высказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (переместительный закон); умножить сумму на число — это все равно, что умножить на число каждое слагаемое в отдельности и результаты сложить (распределительный закон умножения относительно сложения).

a + b = b + a
a (b + c) = ab + ac

Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к которым можно применять эти высказывания. Следовательно, выражаемые ими равенства выполняются всегда, какие конкретные числа в них ни подставишь. (Заметим, что равенство двух алгебраических выражений, выполняющееся при подстановке в него любых элементов некоторого числового множества, называется тождеством, определенным на этом множестве.)

Освоив свод таких законов, можно с успехом заниматься тем, что называется алгебраическими преобразованиями: упрощать громоздкие выражения, придавать им вид, удобный для тех или иных вычислений, и т. д.

Подобный свод законов – алгебра множеств – существует и для операций, при помощи которых из одних множеств образуются другие, – для объединения, пересечения, дополнения.

Таблица 1

Коммуникативность объединения A ∪ B = B ∪ A a + b = b + a Коммуникативность сложения
Коммуникативность пересечения A ∩ B = B ∩ A a * b = b * a Коммуникативность умножения
Ассоциативность объединения A ∪ (B ∪ C) =
= (A ∪ B) ∪ C
a + (b + c) =
= (a + b) + c
Ассоциативность сложения
Ассоциативность пересечения A ∩ (B ∩ C) =
= (A ∩ B) ∩ C
a (b * c) =
= (a * b) c
Ассоциативность умножения
Дистрибутивность пересечения относительно объединения A ∩ (B ∪ C) =
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
a (b + c) =
= a * b + a * c
Дистрибутивность умножения относительно сложения
Дистрибутивность объединения относительно пересечения A ∪ (B ∩ C) =
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Свойства пустого множества A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅ = ∅
a + 0 = a
a * 0 = 0
Свойства нуля
Свойства универсального множителя A ∩ U = A
A ∪ U = U
Законы де Моргана ‾(A ∩ B) = ‾A ∪ ‾B
‾(A ∪ B) = ‾A ∩ ‾B
A ∪ ‾A = U
A ∩ ‾A = ∅
‾A = A
‾U = ∅
‾∅ = U

Вместо «коммуникативность» иногда говорят «переместительный закон» или «переместительное свойство», вместо «ассоциативность» – «сочетательный закон», «сочетательное свойство», вместо «дистрибутивность» - «распределительный закон», «распределительное свойство».

В чем-то оба этих свода законов, эти две алгебры (чисел и множеств) похожи. Иными словами, все эти формулы носят характер тождеств. Подобно формулам школьной алгебры, они используются для того, чтобы преобразовывать выражения, содержащие символические обозначения множеств, – упрощать их, придавать им определенный вид и т. д.

Математика: