Подмножества

Делу время – потехе час.

Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для развлечений может не выкроиться ни минутки. Поэтому отведем забавам хотя бы эту страничку.

Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно просты: берется какое-то слово, и из его букв образуются новые слова.

Не будем лазить за исходным словом в карман: нам вполне подойдет заголовок этой главы.

МНОЖЕСТВА
нож
нос
сон
стон
жена
манеж
жетон
монета
жеманство

А теперь, читатель, забавы в сторону – займемся делом.

Каждое из выписанных в столбик слов будем рассматривать как множество букв. По правилам игры буквы каждого новообразованного слава в этом столбике черпались из исходного слава. Иначе говоря, любой элемент каждого нового множества букв принадлежит исходному буквенному множеству.

Говорят, что некоторое множество включается в другое, если каждый элемент первого множества является также элементом другого. При этом первое множество называется подмножеством (или частью) второго.

Согласно сказанному, множество букв слова «жетон» является подмножеством (или частью) множества букв слова «множества», множество букв слова «нож» включается во множество букв слова «жетон» и т. п.

Включение подмножества

Нетрудно подобрать и математические примеры включения множеств. Совсем недавно мы говорили, что всякое натуральное число есть число вещественное, принадлежит их множеству. А это и означает, что множество натуральных чисел включено во множество вещественных. С другой стороны, множество натуральных чисел включает в себя множество нечетных чисел, а оно включает в себя множество простых (если не считать двойку; напомним, что натуральное число называется простым, если делится лишь на себя и на единицу, иными словами, не разложимо на множители). Множество прямоугольников включается во множество параллелограммов, а оно, в свою очередь, является частью множества четырехугольников.

То, что одно какое-то множество является частью другого, иногда совершенно очевидно. Так, например, дело обстоит в случае с прямоугольниками и параллелограммами. Определяющее свойство параллелограмма – параллельность противоположных сторон. Всякий прямоугольник обладает таким свойством и, стало быть, принадлежит множеству параллелограммов.

Но иногда включение одного множества в другое приходится доказывать. Не всякому, быть может, очевидно, что любое простое число (кроме двойки) нечетно. А между тем обосновать это просто. Ведь если бы оно было четным, то оно делилось бы на два, то есть на число, не равное ни ему самому, ни единице, и, стало быть, не было бы простым.

Просмотрим теперь еще раз список слов, извлеченных нами из слова «множества». Наша самая большая удача – это, несомненно, слово «жеманство». Будучи образовано по всем правилам нашей игры, оно как множество букв включается в исходное слово «множества». Гордимся же мы им потому, что оно также и включает в себя исходное слово. Действительно, каждая буква слова «множества» принадлежит множеству букв слова «жеманство».

Равные подмножества

Иными словами, каждое из этих двух множеств является подмножеством другого. Причина такой взаимности понятна: оба буквенных множества состоят из одних и тех же элементов. про такие множества говорят, что они равны друг другу. А выражаясь строго, два множества называются равными, если одно включается в другое, и наоборот, то есть если оба состоят из одних и тех же элементов.

Попробуем и на этот счет подобрать пример из математики. Давайте рассмотрим два множества геометрических фигур: множество равносторонних треугольников и множество равноугольных треугольников. Есть такая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, каждый равносторонний треугольник является равноугольным, то есть наше первое множество фигур (равносторонние треугольники) включается во второе (равноугольные треугольники). Но есть и такая теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, каждый равноугольный треугольник – равносторонний, то есть и второе множество фигур включается в первое. Итак, оба множества равны друг другу.

Общеизвестно: всякая селедка – рыба, но не всякая рыба – селедка.

Ясно, что в этой поговорке речь идет о двух множествах – множестве рыб вообще и множестве. селедок в частности.

Поскольку всякая селедка – рыба, множество селедок включено во множество рыб.

Строгое включение подмножества

Но не всякая рыба – селедка. Иными словами, во множестве рыб существует хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству селедок, ну, скажем, лещ или щука. В подобных случаях говорят не просто о включении, а о строгом включении.

Точно так же множество пешек строго включено во множество шахматных фигур, множество простых чисел – во множество натуральных чисел, множество квадратов – во множество прямоугольников.

Некоторое множество, строго включенное в другое, называется его истинным, или собственным, подмножеством (а не просто подмножеством, как говорили мы в случае нестрогого включения).

Итак, множество селедок есть истинное подмножество множества рыб, множество простых чисел – истинное подмножество натурального ряда и т. д.

Математика: