Конечные и бесконечные множества

Это может показаться мнительностью, но мы, право, не без основания опасаемся, что некоторые типичные примеры множеств могут подтолкнуть читателя к неверному толкованию этого понятия.

Мы говорим, например, о множестве букв русского алфавита (А, Б, В, Г...), о множестве натуральных чисел (1, 2, 3, 4...). Элементы того и другого принято располагать в определенном порядке. Но никакого определяющего значения тот или иной порядок не имеет ни для этих двух, ни для какого угодно множества. Как ни тасуй колоду, это будет одно и то же множество карт. И точно так же алфавит можно привести в любом порядке – например, в том, который принят для клавиатуры пишущих машинок. А натуральный ряд можно записать скажем, так, как показано на этой странице (в дальнейшем нам еще пригодится такая его запись).

Множество натуральных чисел

Здесь стоит отметить (позже мы поговорим об этом подробнее), что существуют бесконечные множества, элементы которых принципиально невозможно расположить в виде какой-либо последовательности, как числа натурального ряда. Таково, например, множество всех вещественных чисел между нулем и единицей (включительно).

Напоследок еще одно замечание по поводу тех множеств, которые поддаются перечислению. Если, скажем, перечисляя русский алфавит, мы повторим какую-то букву два раза, множество останется тем же самым – русским алфавитом. Чтобы в таких случаях исключить возможные недоразумения, говорят, что ни один элемент множества не может содержаться в нем несколько раз.

Адам и Ева. Таково, согласно библейской легенде, множество первых людей на Земле.

Меркурий, Венера. Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Это множество планет Солнечной системы.

Множество планет

И то и другое множество конечно, так что каждое можно определить, указав все его элементы. И если желательно подчеркнуть, что указанные элементы рассматриваются в совокупности как некоторое множество, их перечисляют через запятую и ограждают эту строчку с обеих сторон фигурными скобками.

Андрей Болконский, Пьер Безухов, Наташа Ростова, Николай Ростов, Анатоль Курагин и так далее – множество персонажей романа Толстого «Война и мир».

Один, два, три; четыре, пять, шесть и так далее – уже знакомый нам натуральный ряд, множество положительных целых чисел.

Множество натуральных чисел

Способы задания множеств в последних двух примерах уже другие, нежели в первых.

Что касается множества персонажей романа «Война и мир», то его в принципе можно было бы определить и прежним приемом – перечислением. Для этого, правда, потребовалось бы несколько страниц нашей книги. А вот для натуральных чисел такой прием не годится даже в принципе, поскольку их множество бесконечно.

Как быть? В некоторых подобных случаях из затруднительного положения удается выйти, назвав лишь несколько элементов множества. Троеточие или оборот «и так далее», которыми принято обрывать такой список, подчеркивают, что названное не исчерпывает всего множества. Однако если из этого незавершенного перечня становится понятно, как далее его продолжать, какие предметы можно поставить а один ряд с названными, – это значит, что есть критерий проверки, принадлежит тот или иной предмет данному множеству или не принадлежит. Мы уже знаем: если такой критерий есть, то множество задано совершенно определенно.

Впрочем, на способы задания множеств можно взглянуть с другой стороны, с которой становится незаметным различие между конечными и бесконечными совокупностями.

Присмотримся к описаниям упомянутых множеств: «первые люди на Земле», «планеты Солнечной системы», «натуральные числа», «персонажи романа «Война и мир».

Такого описания вполне достаточно для того, чтобы определить каждое из этих множеств. В подобных случаях говорят, что множество задано с помощью характеристического (или определяющего) свойства, такого, что им обладает каждый элемент этого множества и не обладает ни один предмет, который этому множеству не принадлежит. Принадлежность предмета данному множеству тогда можно выразить, сказав, что он обладает данным свойством.

Поистине незаменим этот способ, когда элементы множества просто невозможно перечислить каким-либо списком, даже оборванным словами «и так далее».

Взять хотя бы уже упоминавшееся по этому поводу множество всех вещественных чисел между нулем и единицей (включительно). Написав эту фразу, мы, собственно, и указали характеристическое свойство элементов этого числового множества: каждое принадлежащее ему число неотрицательно и в то же время не превосходит единицы. Можно было бы заменить словесное описание формульным (0 ≤ x ≤ 1), не суть дела осталась бы прежней.

Другой пример – окружность. Про нее говорят так: множество точек, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу. И в этом выражается определяющее свойство элементов этого точечного множества.

Математика: