Понятия математики

Говорят, что над входом в сад «Академия», где Платон любил беседовать со своими учениками, было написано: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Беседуя со своими читателями о математике, мы не гонимся, за академизмом и не требуем от них особых предварительных познаний. Тем не менее нам хочется верить, что нашему читателю известны простейшие геометрические фигуры – треугольник и окружность, параллелограмм и прямоугольник, квадрат и ромб, а возможно, и некоторые свойства этих фигур (например, пропорциональность соответственных сторон у подобных треугольников). Все это пригодится нам в дальнейших разговорах.

Мы также предполагаем в читателе некоторые начальные познания из арифметики, надеемся, в частности, что он имеет понятие о десятичных дробях, знает о существовании бесконечных десятичных дробей – например, представляет, что если попытаться выразить дробь 3/22 в десятичной записи, деля уголком 3 на 22, то в результате получится 0,1363636... а дальше будет периодически повторяться без конца одна и та же группа цифр (36).

Числа, которые выражаются конечными или бесконечными десятичными дробями, называются вещественными (также действительными). К их множеству мы не раз будем обращаться за примерами. Не удивительно: ведь среди них содержатся все натуральные (то есть целые положительные) числа, все целые числа вообще (и положительные, и отрицательные, а также и нуль; любое из них можно трактовать как конечную десятичную дробь, не имеющую ни одного знака после запятой). Во множестве вещественных чисел заключаются также все рациональные числа, или, другими словами, дроби, отношения целых чисел – оказывается, всякое такое отношение можно представить конечной или бесконечной периодической десятичной дробью (как мы только что сделали это с отношением 3/22). Если же бесконечная десятичная дробь непериодична, то такое вещественное число называется иррациональным.

Математика знает также мнимые числа, комплексные числа, но мы в нашей книге касаться их не будем.

Русское слово «множество» способно ввести в заблуждение: оно неявно подразумевает некоторое изобилие. Тем более что наши примеры множеств давали тому повод. Однако математический термин «множество» этого оттенка совсем не имеет.

Множество может состоять всего из двух элементов (таково, например, множество естественных спутников Марса – Фобос и Деймос). Может состоять из одного (тогда его называют единичным множеством; пример – множество естественных спутников Земли, в котором единственный элемент – Луна). Наконец, математики говорят про так называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Это, например, множество естественных спутников Венеры или, если угодно что-нибудь повеселее, множество владельцев действующих вечных двигателей, множество квадратных колес, множество острых шаров, множество кривых прямых...

Понятие пустого множества в математике не расценивается как нечто маловажное. Для него даже придуман специальный символ: ∅.