Множества

… Ничего
Не вышло из пера его,
И не попал он в цех задорный
Людей, о коих не сужу
Затем, что к ним принадлежу

«Цех задорный» – эта множество поэтов. Пушкин принадлежит этому множеству, является его элементом. Онегин – не принадлежит, то есть элементом этого множества не является.


Что же такое множество? Что это за термин, в котором, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и числа, и заезды? Как в математике определяется это понятие?

Если честно – то никак. Здесь мы не можем употребить столь привычный для математиков способ определения через род и видовое отличие. Согласно такому способу всякое новое понятие вводится как разновидность некоторого более общего, определенного ранее понятия (скажем, параллелограмм есть разновидность четырехугольника, прямоугольник есть разновидность параллелограмма и т. п.). Но для понятия «множество» не известно ничего более общего по отношению к нему. Его удел такой же, как у всех основополагающих понятий математики, которые выступают в аксиомах, не оговоренные никакими предварительными определениями.

Когда мы говорили, что слово «множество» имеет тот же смысл, что слова «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его синонимы, которые, быть может, помогали сделать новый термин более ясным, но отнюдь не составляли его строгого определения.

Нам кажется, что после сказанного у читателя появилось некоторое недоумение: как же так – множество определить нельзя, но выше мы говорили и про множество натуральных чисел, и про множество букв русского алфавита, и про множество фигур на плоскости…

Неувязка?

Никак нет. Как абстрактное математическое понятие множество действительно неопределимо. Но определить какое-либо конкретное множество – задача не из трудных. Например, можно с полной определенностью говорить о множестве архитектурных памятников Санкт-Петербурга: чтобы его задать, достаточно пройти по улицам города и указать дома, на которых висят чугунные доски с надписью «Охраняется государством».

Так и со всяким множеством. Определить его – значит относительно любого предмета уметь ответить на вопрос: принадлежит он данному множеству или не принадлежит?

Поэтому и говорят, что всякое множество однозначно и полностью определяется его элементами.

Так что пусть читатель не сетует, что термин «множество» остался неопределенным. В свете сказанного основное понятие теории множеств видится не за этим термином, а скорее за словом «принадлежать».

Для него введен особый символ, приведенный на рисунке выше. Там показано, как в символической записи обозначается, что некоторый элемент a принадлежит некоторому множеству A.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *