Множества

– Буренка! Зорька! Пеструшка! – покрикивает пастух, выгоняя коров из леса на опушку. Неровен час потеряются. Особенно эта Зорька: чуть зазеваешься – ищи-свищи! Пеструшка – та ничего: пока кнутом не хлопнешь, с места не сдвинется. С Буренкой – своя беда: уж больно бодлива, не подцепила бы кого на рога...

Для пастуха каждая корова – на особицу: у каждой свой характер, свои привычки. Это вон для дачника все коровы на опушке – просто стадо и только.

Вот ведь что значит точка зрения! Для одного – неповторимые индивидуальности. Для другого – совокупность, мыслимая как единое целое.

Вообще человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект.

Первая скрипка, вторая скрипка, альт, виолончель, контрабас, флейта, гобой, фагот, валторна, труба, литавры. Про все, взятое вместе, мы говорим: оркестр.

Кофейник, молочник, сахарница, несколько чашек, столько же блюдец. А все вместе – сервиз.

А, Б, В, Г, Д... Все вместе же – алфавит.

1, 2, 3, 4, 5... А вместе – так называемый натуральный ряд чисел.

Не случайно каждую из этих совокупностей мы называем существительным в единственном числе: оркестр, сервиз, алфавит, ряд – идея объединения проглядывает даже в такой мелочи.

Подобное объединение необходимо, когда приходится сравнивать какие-либо совокупности между собой.

Представьте: вы – новосел. Вы приходите в мебельный магазин, чтобы выбрать мебель для своей новой квартиры – и убеждаетесь, что сделать это не так-то просто. Какому гарнитуру отдать предпочтение? То ли этому – светлому, неполированному? Или тому, что под карельскую березу? А может быть, вон тому – с плюшевой обивкой в полосочку?
Каждый гарнитур, оставаясь набором отдельных предметов, в вашем воображении фигурирует как единое целое.

Так оно происходит и на выставке филателистических коллекции, и на конкурсе эстрадных ансамблей... Всякая процедура сравнения тех или иных совокупностей заставляет осмысливать их как одно целое.

Так дело обстояло и тогда, когда в семидесятые годы прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнивать между собой бесконечные совокупности чисел.

Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества, суть которого вполне передается словами «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и т. д.

Это понятие, введенное в довольно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоятельный интерес и выделились а особый раздел математики – теорию множеств.

В современной математике понятие множества считается одним из основных. Так или иначе с него начинается изложение традиционных математических дисциплин и построение новых математических теорий, возникающих по мере того, как расширяется сфера применений математики.

Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векторы, коровы, функции... Даже сами множества могут объединяться во множества: например, математики говорят про множество фигур на плоскости, про множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Плодотворность теоретико-множественной концепции в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов. Оттого теория множеств и служит прочным фундаментом математизации разнообразнейших наук: экономики, биологии, лингвистики...

Предметы, составляющие некоторое множество, называются его элементами. Про них говорят, что они принадлежат этому множеству. Помните, как Пушкин в романе «Евгений Онегин» писал о своем герое, который, разочаровавшись в суетной жизни света, попробовал было писать?

... Ничего
Не вышло из пера его,
И не попал он в цех задорный
Людей, о коих не сужу
Затем, что к ним принадлежу

«Цех задорный» – эта множество поэтов. Пушкин принадлежит этому множеству, является его элементом. Онегин – не принадлежит, то есть элементом этого множества не является.


Что же такое множество? Что это за термин, в котором, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и числа, и заезды? Как в математике определяется это понятие?

Если честно – то никак. Здесь мы не можем употребить столь привычный для математиков способ определения через род и видовое отличие. Согласно такому способу всякое новое понятие вводится как разновидность некоторого более общего, определенного ранее понятия (скажем, параллелограмм есть разновидность четырехугольника, прямоугольник есть разновидность параллелограмма и т. п.). Но для понятия «множество» не известно ничего более общего по отношению к нему. Его удел такой же, как у всех основополагающих понятий математики, которые выступают в аксиомах, не оговоренные никакими предварительными определениями.

Когда мы говорили, что слово «множество» имеет тот же смысл, что слова «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его синонимы, которые, быть может, помогали сделать новый термин более ясным, но отнюдь не составляли его строгого определения.

Нам кажется, что после сказанного у читателя появилось некоторое недоумение: как же так – множество определить нельзя, но выше мы говорили и про множество натуральных чисел, и про множество букв русского алфавита, и про множество фигур на плоскости...

Неувязка?

Никак нет. Как абстрактное математическое понятие множество действительно неопределимо. Но определить какое-либо конкретное множество – задача не из трудных. Например, можно с полной определенностью говорить о множестве архитектурных памятников Санкт-Петербурга: чтобы его задать, достаточно пройти по улицам города и указать дома, на которых висят чугунные доски с надписью «Охраняется государством».

Пример обозначения множества и элемента

Так и со всяким множеством. Определить его – значит относительно любого предмета уметь ответить на вопрос: принадлежит он данному множеству или не принадлежит?

Поэтому и говорят, что всякое множество однозначно и полностью определяется его элементами.

Так что пусть читатель не сетует, что термин «множество» остался неопределенным. В свете сказанного основное понятие теории множеств видится не за этим термином, а скорее за словом «принадлежать».

Для него введен особый символ, приведенный на рисунке выше. Там показано, как в символической записи обозначается, что некоторый элемент a принадлежит некоторому множеству A.

Математика: