Отношения между множествами

Руководитель, школьного хора составляет расписание репетиций.

«Так... Четвертые классы... Их три: А, Б, В. Из четвертого А восемь человек. Не густо, но зато два солиста. Четвертый Б. Ну, эти все певуны – всем классом записались. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из них он и состоит».

Руководителю хора еще предстоит согласовывать и увязывать сроки спевок и репетиций, а для наших целей наговоренного им вполне достаточно. Он описал все возможные отношения, какие могут существовать между двумя множествами.

Пересечение множеств

На помещенном здесь рисунке прямоугольник символически обозначает множество всех учеников школы. Заштрихованный овал в центре, помеченный буквой X, – это множество учеников, поющих в хоре. Ну а теперь схематически изобразим здесь же четвертые классы. Будем отмечать соответствующие овалы теми же буквами, которыми эти классы обозначены в школьном расписании, – А, Б, В. Кстати и во вполне строгих математических рассуждениях множества тоже обозначаются прописными буквами, правда, латинскими.

Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре. У множества А и X есть общие элементы, эти множества пересекаются, что и показано на рисунке.

Четвертый Б. Это множество тоже пересекается со множеством X. Но ситуация здесь иная, нежели с пересечением множеств А и X. Там, множество А содержало элементы, не входящие в X (всего лишь восемь учеников – хористы). Там можно было говорить только о пересечении. А здесь наблюдается нечто большее: каждый элемент множества Б есть элемент множества X. Иными словами, множество Б включено во множество X.

Это включение строгое: ведь в хоре поют не только ученики четвертого Б.

Четвертый В. Хористов тут нет. Множества В и X непересекающиеся. (Говорят еще так: их пересечение пусто). А еще известно, что множество В и множество К (кукольный театр) состоят из одних и тех же элементов. Иначе говоря, множества В и К равны.

Вот мы и перебрали все отношения, какие могут существовать между двумя множествами. Два множества могут не пересекаться (как множества В и Х из нашего примера), а могут и пересекаться (как А и Х, Б и Х, В и К). В последнем случае возможны три варианта Множества могут быть равны (как В и К). Могут строго включаться одно в другое (как Б включается в Х; о включении можно говорить и в случае двух равных множеств: любое из них включено в другое, но тут уж речь идет о нестрогом включении). Наконец, два множества могут пересекаться так, что каждое имеет элементы, не принадлежащие другому (как А и Х). Тогда говорят, что два множества находятся в общем положении.

Круги и овалы, которые мы начали рисовать, экспериментируя с биноклем, сослужили нам неплохую службу. С их помощью потом оказалось возможным проиллюстрировать все отношения между множествами, и операции над ними.

Подобные незамысловатые картинки называют диаграммами Венна, хотя еще раньше их применял швейцарский математик Леонард Эйлер в своих знаменитых «Письмах к немецкой принцессе».

Мы еще раз убедимся в пользе этих диаграмм, знакомясь с закономерностями, которым подчиняются операции над множествами.

Вот два примера – и совсем не рядовых: они носят громкое название законов де Моргана (по имени исследовавшего их шотландского математика).

Первый: дополнение объединения двух множеств равно пересечению дополнений этих множеств.

Второй: дополнение пересечения двух множеств равно объединению дополнений этих множеств.

Звучит сложновато, как трудно произносимая скороговорка, – в переменчивых сочетаниях повторяющихся терминов путается язык.

А теперь то же самое на диаграммах Венна. Двумя перекрывающимися кругами обозначим на них два пересекающихся множества. Внешность каждого круга представит собой дополнение соответствующего множества до универсального, обозначенного традиционным прямоугольником.

Иллюстрация законов де Моргана

Верхняя картинка: внешность этой лежащей на боку восьмерки из двух кругов можно было бы получить, образуя пересечение внешностей того и другого круга. Это первый закон де Моргана в наглядном представлении.

Нижняя картинка: внешность луночки, по которой перекрываются круги, можно представить как результат объединения внешностей того и другого круга. Таков в наглядном представлении второй закон де Моргана.

Математика: