Декартова и полярная системы координат

Есть города, основатели которых словно отдавали дань точным наукам. Математическая строгость с самого начала вносилась в планы таких городов.

Вот карта одного из старейших районов Петербурга - Васильевского острова. Его линии и проспекты, пересекаясь под прямым углом образуют геометрически правильную сетку.


По такому же принципу застроен остров Манхеттен - центральная часть Нью-Йорка. Математическая строгость застройки подчеркнута тем, что улицам Манхеттена - продольным авеню и поперечным стрит - присвоены не названия, а номера. В такой сетке улиц не запутаешься: два числа - номер стрит и номер авеню - однозначно указывают положение каждого перекрестка, а добравшись до него, уже нетрудно отыскать нужный дом.

Впрочем, прямоугольная сетка стрит и авеню, если внимательней приглядеться к карте Манхеттена, не столь уж математически безукоризненна. По самому краю острова, почти вплотную к берегу, проходит первая авеню. Но капризная природа сотворила берег не идеально ровным на всем его протяжении. В одном месте, уклоняясь от направления первой авеню, он выдается значительным мысом. Мыс застроен, причем градостоители выдержали строгий принцип планировки: авеню здесь проложены параллельно остальным. Однако градостоители не выдержали принцип в обозначении улиц: вместо цифр в ход пошли буквы - авеню A, авеню B, авеню C и D.

А если сохранить верность номерным обозначениям? Приближаясь к мысу и перебирая номера авеню - третья, вторая, первая, какой номер естественно увидеть на следующей авеню? Очевидно, нулевой. А дальше; разумеется, должны идти минус первая, минус вторая...

Теперь переведите взгляд в район четвертой и пятой авеню. Между ними пролегает Мадисон-авеню - не нумерованная, как все, а именованная. Что если и ее переименовать на числовой манер? Какой номер получила бы она тогда? Четыре с половиной, не так ли?


Если проводить такой подход последовательно, то любую точку карты можно определить как перекресток двух «улиц» - двух прямых, идущих в направлении стрит и авеню. Номер каждой "улицы" определяется тем, какой отрезок отсекает она на нулевой стрит или на нулевой авеню. В ходе рассуждений план города с прямоугольной сеткой улиц превратился в прямоугольную декартову систему координат.


Не сразу Москва строилась и - в отличие от Петербурга - не по единому плану. Вначале, как гласит легенда, князь Юрий Долгорукий «повеле соделати град мал, древян» в месте слияния Москвы-реки и речки Неглинной. Вокруг деревянной крепости кольцом расположился посад. Лучами из крепости, как из центра, на все стороны расходились торговые пути: во Владимир и Суздаль, Новгород и Смоленск. Росло население, и новостройки все новыми кольцами опоясывали центральную часть города.

Так складывалась радиально-кольцевая структура нашей древней столицы.

Конечно, прихотливое течение Москвы-реки, пересеченный рельеф местности нарушали строгость структуры. Лучи шли отнюдь не по линейке, кольца - не по циркулю. Если же употребить эти геометрические инструменты, то схематической карте города нетрудно придать геометрическую стройность. Для этого нужно спрямить радиальные улицы и превратить в четкие окружности кольцевые.


И тогда, как на плане Петербурга или Нью-Йорка, положение любой точки на плане Москвы будет определяться как пересечение двух «улиц» - радиальной и кольцевой.
Номер кольцевой улицы будет равен радиусу соответствующей окружности, измеренному в принятых единицах масштаба, иными словами, расстоянию точки де центра, до начала координат.

С номерами радиальных улиц дело сложнее. Прежде всего - откуда их отсчитывать? Какое-то направление нужно принять за основу, уже привычным нам приемом присвоить ему нулевой номер, и каждую радиальную улицу определять углом, который она составляет с нулевой.

Поправка за поправкой план Москвы с его радиально-кольцевой структурой превращается в этакую симпатичную координатную систему. Ее называют полярной системой координат.


Как и в декартовой системе здесь есть начало координат, обозначаемое буквой O. Из этой точки исходит полярная ось, которую мы в нашем предыдущем рассказе называли улицей номер нуль. Как в и декартовой системе здесь у каждой точки две координаты. Первая из них - длина отрезка, проведенного в точку из начала. Его называют радиус-вектором, а его длину
обозначают греческой буквой ρ. Вторая координата - угол, образованный этим отрезком с полярной осью. Он считается положительным; если отсчитывается от полярной оси к радиус-вектору против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчитывается по часовой стрелке. Его называют полярным углом, а его величину обозначают греческой буквой φ.


Пример трехмерной системы координат
Примеры двумерных координатных систем мы подыскивали, изучая планировку Петербурга, Нью-Йорка, Москвы.

За примерами трехмерных координатных систем, пожалуй, нужно отправиться в пространство, подняться над землей.

Но почему подняться? В третье измерение можно выйти и в противоположном направлении. Человек сделал это задолго до эры авиации и космонавтики – копая шахты, добираясь до угольных пластов и рудных жил.

Взгляните на чертеж, изображающий горную выработку. Чтобы добраться до своего рабочего места, шахтер должен спуститься до нужного квершлага, затем проехать до нужного штрека, а затем до нужного участка. Номер квершлага, номер штрека, номер участка – вот три числа, которые записаны в наряде у шахтера, когда он отправляется под землю, три числа, определяющих пункт его назначения в подземном пространстве.

В строгой структуре горной выработки четко просматривается образ трехмерной декартовой системы координат.

Математика: