Пересечение и разность множеств

Поглядите еще раз в наш бинокль, читатель, да повнимательней.

Замечаете ли вы, что отнюдь не все предметы, которые видны в него, выглядят выпуклыми, объемными?

Дело в том, что объемность появляется у них лишь тогда, когда человек глядит на них обоими глазами. Недаром физиологи называют объемное зрение бинокулярным (так сказать, «зрением в два глаза»).

Объединение множеств

В поле зрения бинокля попробуем очертить тот участок, где предметы смотрятся выпуклыми. Очевидно, это будет та луночка, по которой перекрываются, круговые поля зрения левого и правого окуляра.

Пересечение множеств

Придадим нашему выводу теоретико-множественное звучание. Мы взяли два множества (поля зрения двух окуляров) и образовали из них третье. Определяющий признак этого третьего множества в том, что состоит оно из всех тех и только тех элементов (в данном случае точек), которые принадлежат и первому и второму множеству.

Когда новое множество строится из исходных по такому правилу, то оно называется пересечением исходных множеств.

После этого интересно вновь рассмотреть, поставленную в предыдущем разделе проблему про отцов и детей. Мы уже отмечали, что отец мальчика принадлежит и множеству отцов и множеству сыновей. Теперь мы можем выразиться более научно: единичное множество «отец ребенка» есть пересечение множества отцов и множества сыновей.

О множестве вещественных чисел, больших нуля и меньших единицы можно сказать, что это пересечение множества вещественных чисел, больших нуля, и множества вещественных чисел, меньших единицы. О множестве квадратов – что это пересечение множества прямоугольников и множества ромбов (если читателю это не кажется очевидным, пусть он попытается доказать это строго).

Рассерженный малыш, адресуясь к коллегам по песочнице, делает гневное заявление: «Отдайте мне мои игрушки – я с вами больше не играю».

Нет сомнения: через несколько минут дети помирятся и будут по-прежнему лепить куличики. И если мы привлекаем внимание читателя к мимолетному конфликту, то лишь для того, чтобы назвать вещи своими теоретико-множественными именами.

Речь здесь идет о двух множествах: множестве всех игрушек в песочнице и множестве игрушек, которые принадлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, он вынес на улицу не все свое игрушечное хозяйство – часть осталась дома. Говоря «мои игрушки», он подразумевает пересечение первого множества (все игрушки в песочнице) и второго (все игрушки в целом).

Есть свое имя и для множества всех остальных игрушек в песочнице. Это разность первого и второго множеств.

Разность множеств

Если же говорить более общо, имея в виду два произвольных множества, та определение их разности таково: она состоит из всех тех и только тех элементов первого множества, которое не принадлежит втором.

Математика: