Бесконечные множества

У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть такие строки:

«До явно белое, пустое, до – всего, ре – голубое, ми – желтое (может быть – midi?), фа – коричневое (может быть, фаевое выходное платье матери, а ре – голубое – река?)»

Можно удивляться продемонстрированному здесь богатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться с этими цветомузыкальными соответствиями (написавшая процитированные строки и сама говорит далее, что у каждого свои резоны на звуки и краски). Но бесспорно одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба названных множества и с семью днями недели, и с семью струнами гитары, и с семью чудесами свата, и с семью холмами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из сказки о Белоснежке...

Это нечто общее выражается словом «семь». Все перечисленные множества попарно эквивалентны, и в каждом из них – по семь элементов.

Обратите внимание: именно так в математике и возникает понятие натурального числа.

Натуральное число – это общее свойство попарно эквивалентных конечных множеств.

Так, число пять – это выражение той общности, которая связывает попарно эквивалентные множества пяти олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей морской звезды, пяти пальцев на руке.

У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок, могло создаться впечатление: чтобы установить эквивалентность двух множеств, сначала надо пересчитать одно, потом другое и затем, сравнив их численности, убедиться, одинаково ли количество элементов в них.

Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном кругу. В самом деле, понятие натурального числа мы строили на основе понятия эквивалентности множеств, а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность, основываясь на понятии натурального числа.

Порочного круга избежать можно. Эквивалентность множеств можно устанавливать без всякого пересчета.

В партии перчаток, поступивших в магазин, множество левых перчаток эквивалентно множеству правых– утверждать это можно, не заглядывая в накладную.

«На каждый прилив – по отливу», – сказал поэт, провозгласив тем самым, что множество приливов эквивалентно множеству отливов, хотя их никто не считал и вообще не может пересчитать: приливные волны набегали на берега материков, когда на них и не пахло жизнью. И будут набегать еще века и века...

Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем рассказе об эквивалентности множеств она не представляется чужеродной. Примеры с перчатками и приливами явно подсказывают, что можно установить эквивалентность не только конечных, но и бесконечных множеств.

Но стоп! Бесконечность – вещь непростая, и прежде чем рассуждать об эквивалентности бесконечных множеств, разберем несколько наводящих примеров.


«Мест нет».

Туристам и командированным, вероятно, хорошо знакомо это традиционное «приветствие», которым их встречала не одна гостиница.

А вот немецкий математик Давид Гильберт спроектировал такую гостиницу, в которой не возникает никаких проблем с размещением гостей.

Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда, когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он никогда не откажет вновь прибывшему.

– Вы желаете одноместный номер? Милости просим. Только придется немного подождать. Сейчас мы переселим жильца из первого номера во второй, жильца из второго – в третий, жильца из третьего – в четвертый и так далее. И пожалуйста – номер первый к вашим услугам.


Разумеется, то, что проделал администратор гостиницы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной гостинице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец последнего номера в результате вышеописанного переселения окажется выселенным. Такого не случится лишь в гостинице, где за каждым номером, к какому ни подойди, есть дверь следующего.

Очевидно, количество номеров в татой гостинице бесконечно. Мы произносим это слово уже вполне сознательно и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице Гильберта позволяет строго определить понятие бесконечного множества.

Но прежде чем формулировать это определение, поговорим еще о достоинствах замечательной гостиницы.

Оказывается, она способа принять даже такую туристскую группу, число участников которой бесконечно. Что в таком случае делает администратор? Например, переселяет жильцов из первого номера во второй, из второго – в четвертый, из третьего – в шестой... Короче говоря, у каждого жильца в ордере на поселение прежний номер заменяется номером вдвое большим. Таким образом, заселяются лишь четные номера, а первый, третий, пятый и все остальные нечетные оказываются свободными. В них и поселяют одного за другим туристов из бесконечно большой группы.

Обратимся к схемам переселения, которое провел администратор гостиницы Гильберта в первый и во второй раз. Первая строка каждой таблицы показывает размещение жильцов до переселения, вторая – после. Жирные цифры обозначают занятые номера, светлые – свободные. Стрелки указывают порядок переселения. Одновременно они позволяют установить взаимно однозначное соответствие между множествами номеров, занятых до и после переселения.


Но ведь до переселения (и первого, и второго) были заняты все номера гостиницы, все их множество, а после – лишь часть этого множества, лишь его истинное подмножество (то есть включенное во множество, но не равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка рыба, но не всякая рыба – селедка»).

Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его истинным подмножеством. Часть множества эквивалентна целому. Ну не диковинка ли?

Для конечных множеств – диковинка. Для бесконечных – естественное явление, фундаментальное свойство, которое можно принять за их определение.

Бесконечным называется множество, из которого можно выделить эквивалентное ему истинное подмножество.

Математика: