Графики отображений

Когда мы знакомились с пересечением и объединением множеств, с включением одного множества в другое, на память о каждой операции над множествами или отношении между ними нам оставалась выразительная символическая картинка – диаграмма Венна.

Вероятно, читателю хочется получить подобный сувенир, который давал бы наглядное представление о понятии отображения.

Характерная картинка, приводимая для этой цели во многих учебных пособиях по теории множеств, воспроизведена на этой странице. Овалы – это множества, точки – их элементы, стрелки – соответствия. Из каждой точки левого овала, символизирующего множество прообразов, исходит одна и только одна стрелка. В некоторые точки правого овала (он изображает множество, элементы которого в данном отображении играют роль образов) упирается несколько стрелок, в некоторые – ни одной. Все вполне соответствует определению отображения. Но выразительные возможности таких картинок явно не настолько широки, чтобы показать существенные черты того или иного конкретного отображения.

Наглядное представление отображения

Более богатые изобразительные средства стоят за термином «график отображения», который встречается в работах по теории множеств. Поинтересуемся, что он означает. Оказывается, так именуется множество пар, построенных из элементов двух множеств, участвующих в отображении, причем первые элементы всех таких пар в совокупности представляют собой все множество прообразов, а второй элемент каждой пары является образом первого в данном отображении.

Скажем, если рассматривать экзамен как отображение, то его графиком будет экзаменационная ведомость, полный перечень пар «фамилия – оценка».

Опять не очень живописно. И не очень понятно: почему это называется графиком? Это слово обычно ассоциируется с кривой, вычерченной в координатных осях.

Дело в том, что такие кривые тоже представляют собой графики отображений, но весьма частного вида. Это графики числовых функций числового аргумента. Ведь в таких отображениях каждая пара «прообраз–образ» – это пара чисел. (Напомним, что в подобных случаях принято говорить не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а «значение функции».)

Всякую пару чисел можно изобразить точкой на координатной плоскости. Перебрав все значения аргумента из области определения функции и изобразив каждую такую пару точкой плоскости, мы и получим график функции.

Когда, знакомясь с декартовой системой координат, мы отметили на координатной плоскости несколько точек, соответствующих приведенным в тексте числовым парам, внимательный читатель наверняка подметил характерное свойство этих пар: второй элемент каждой из них есть квадрат первого. Иными словами, эта россыпь точек не что иное, как фрагмент графика отображения, которое каждому вещественному числу ставит в соответствие его квадрат.

Изобразим на координатной плоскости все пары такого рада. Они сольются в привычную параболу.

Параболы

Рядом – график другого отображения, которое каждому вещественному числу x ставит в соответствие число x2 + x + 1. Глядя на формулу, не так-то легко ответить на вопрос: какова область значений этой функции, создаваемый ею образ множества всех вещественных чисел? Но когда перед нами ее график, ответ почти очевиден: это множество тех вещественных чисел, которые больше или равны 3/4.

Как видим, графикам числовых функций числового аргумента присуща та наглядность, которая помогает быстро и несложно исследовать свойства этих функций.

Математика: