Отображение и функция

В своих рассуждениях мы употребляли эти слова вперемежку, и читатель мог посчитать их синонимами.

Это не совсем так. Чтобы показать тонкую разницу между ними, обратимся к нашим испытанным примерам отображений.

Пример с гостиницей. Каждому номеру ставится в соответствие ключ. В роли прообразов здесь выступают числа (номера). Всякое такое отображение называется функцией числового аргумента.

Примеры с экзаменом и с новосельем. Здесь числа выступают в роли образов (каждому экзаменующемуся ставится в соответствии оценка, каждому новоселу – номер его квартиры). Всякое такое отображение называется числовой функцией.

А теперь представьте, что в новом доме, куда недавно вселились жильцы, устанавливают телефоны. Номеру каждой квартиры ставится в соответствие номер телефона. Как назвать такое отображение? Числовая функция числового аргумента, не правда ли?

Наш недавний пример, где каждому вещественному числу ставился в соответствие его квадрат, – тоже числовая функция числового аргумента.

На подобные примеры, когда и образы и прообразы – числа, стоит обратить особое внимание. Именно в таких случаях обычно говорят не «отображение», а «функция», не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а «область определения функции» (ее составляют вещественные числа, как правило, из некоторого ограниченного или неограниченного промежутка). Часто в таких случаях употребляют термин «область значений функции» – это тот самый образ множества прообразов, о котором говорилось в конце раздела, где определялось понятие отображения.

Свои особенные наименования есть у многих отображений специального вида.

Отображая какое-либо пространство на себя, говорят о преобразовании этого пространства. (Скажем, когда недавно каждой точке плоскости мы ставили в соответствие другую точку, отнесенную от первой на отрезок определенной длины и направления, это было так называемое преобразование параллельного переноса.) Отображения, сопоставляющие числовые функции числового аргумента друг с другом, именуются операторами, функции с числами – функционалами.

Взгляните на такое выражение: 1 + 3 = 4. Примером чего оно служит? Математик сказал бы, что оно иллюстрирует операцию сложения. А про выражение 2 * 5 = 10 он сказал бы, что здесь произведена операция умножения.

Но ведь про первый пример можно сказать и так: двум числам, 1 и 3, поставлено в соответствие число 4, называемое их суммой. А про второе так: двум числам, 2 и 5, поставлено в соответствие число 10, называемое их произведением.

И там и тут парам чисел ставятся в соответствие числа. Стало быть, мы опять имеем дело с отображением (или, как можно еще сказать, с числовой функцией двух числовых переменных). Можно вообразить наиболее общий случай такого рода, когда упорядоченным парам, составленным из элементов некоторых двух множеств, ставится в соответствие элемент третьего множества. Всякое такое отображение в математике принято именовать бинарной, или двуместной, операцией («binarus» по-латыни «двойной»), определенной на произведении первого множества на второе (напомним, что совокупность упорядоченных пар из элементов двух множеств называется произведением этих множеств) со значениями из третьего множества.

Значит, и сложение и умножение чисел – это действительно отображения, но того специфического вида, которые именуются бинарными операциями. Определены обе эти операции на произведении множества вещественных чисел на себя, и значения принимают опять-таки из множества вещественных чисел.

Можно говорить вообще об n-местных операциях, когда n-кам элементов ставятся в соответствие элементы еще какого-то множества. (Правда, в таких случаях обычно говорят о функциях n переменных.) «Обыкновенные» отображения, когда с элементами одного множества сопоставляются элементы другого (или того же самого), тоже иногда трактуются как операции – их называют унарными, или одноместными («unarius» по-латыни «единичный»). Когда, например, положительным числам ставятся в соответствие их квадратные корни, говорят об операции извлечения квадратного корня.

Как все-таки многолико это понятие «отображение»! Как широко оно применяется! Недаром во многих курсах математики о нем говорится как об одном из основных понятий этой науки, не менее фундаментальном, чем понятие множества.

Математика: