Примеры различных отображений

Если читатель проглядит еще раз примеры, через которые мы подводили его к понятию отображения, то он, конечно, заметит что-то неладное в примере с рыбаком.

Во-первых, для некоторых рыб рекомендуется сразу несколько наживок (окуню ставится в соответствие выползок и ручейник, плотве – ручейник и мотыль). А определение отображения требует, чтобы каждому элементу множества прообразов соответствовал точно один образ.

Во-вторых, некоторым рыбам (стерлядь, щука) не соответствует никакая наживка. А определение отображения требует, чтобы образ был у каждого элемента множества прообразов.

Стало быть, сопоставление наживок с рыбами, изложенное устами старого рыбака, – не отображение.

Призванный к бдительности примером с рыбаком читатель, вероятно, повнимательнее приглядится к другим примерам и остановит критический взор на списании экзамена, трактуемого как отображение множества экзаменующихся во множество оценок (двойка, тройка, четверка, пятерка). В этом числовом множестве – всего четыре элемента. И если экзаменующихся больше, то просто невозможно, чтобы у всех были различные оценки.

Допустимо ли, может спросить читатель, чтобы при каком-то отображении нескольким прообразом соответствовал один и тот же образ?

Да, допустимо, поскольку в определении отображения нет никаких оговорок на этот счет.

А как смотреть на то, возможно, не оставит своих сомнений читатель, если на экзамене никто не получит пятерку? Или на такой счастливый случай, когда никто не получил двойку? Допустимо ли, чтобы при каком-то отображении какой-то элемент множества, из которого берутся образы, не был сопоставлен ни с одним элементом из множества прообразов?

Да, допустимо, следует ответить и на сей раз, потому что и на это мы не накладывали никаких запретов, когда определяли отображение множества А во множество В. Выделенный нами предлог в словно подчеркивает, что некоторые элементы множества В вправе уклониться от участия в отображении.

Если же роль образа падает на каждый элемент этого множества, то про такой поголовный охват говорят, что множество А отображается на множество В.

Знаете ли вы, откуда в нашей речи взялось присловье «жив курилка»? Оно пошло от старинной народной игры. Ее участники становятся в круг, а по нему пускается
зажженная лучинка. Каждый играющий передает ее соседу со словами: «Жив, жив курилка!» У кого в руках лучинка погаснет, тот должен исполнить какое-то желание играющих.
Передача лучинки от одного участника игры к соседу ставит в соответствие каждому элементу множества играющих элемент, принадлежащий тому же множеству. Про такое соответствие говорят, что оно отображает множество в себя.

Отображение в себя

В каждом из наших прежних примеров, иллюстрировавших понятие отображения, прообразы и образы принадлежали различным множествам. Однако определение отображения на таком различии вовсе не настаивает. Стало быть, допустимы случаи, аналогичные игре с лучинкой, – отображения множеств в себя.

Нетрудно придумать и чисто математический пример подобного отображения. Пусть каждому вещественному числу x ставится в соответствие его квадрат: x2. И прообразы и образы принадлежат здесь одному и тому же множеству вещественных чисел. Оно отображается в себя описанным соответствием.

Вот еще один математический пример такого рода, на сей раз не алгебраического, а геометрического толка.

Отображение точек плоскости в себя

Каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка той же плоскости, причем так, что направленные отрезки, проводимые из какой-либо точки-прообраза в соответствующую ей точку-образ, одинаковы по длине и направлению. Описанным соответствием множество всех точек плоскости отображается в себя.

Наши последние, примеры – с числами, с точками плоскости – вновь отличаются особенностью, которой не было у прежних примеров. До сих пор участниками каждого отображения были конечные множества. Но ведь этого вовсе не требует определение отображения. В нем вообще нет никаких ограничений на природу множеств, которые могут участвовать в отображениях. Стало быть, эти множества могут быть и бесконечными.

Разберем еще один пример такого сорта. Это отображение замечательно тем, что в нем математика черпает львиную долю средств для наглядного изображения своих понятий.

Числовая ось

Начертим прямую, одну из ее точек отметим числом 0, другую, лежащую правее, – числом 1. Отрезок между этими точками назовем единичным, а всю прямую – числовой осью. Будем теперь последовательно откладывать на ней единичный отрезок вправо от точки 1 и обозначать получающиеся засечки числами 2, 3, 4 и так далее. Откладывая единичный отрезок влево от точки 0, будем отмечать новые последовательные засечки числами –1, –2, –3 и так далее. На числовой оси можно изображать и нецелые числа. Например, число ½ представится на ней серединой отрезка между точками 0 и 1, а чтобы изобразить на числовой оси, скажем, число 2,7, нужно отложить семь раз вправо от точки 2 десятую долю единичного отрезка. Подобным образом на числовой оси отмечается любое вещественное число, иными словами, так строится отображение множества вещественных чисел на множество точек числовой оси.

А теперь скрестим на плоскости две числовые оси. Возьмем какую-нибудь пару чисел, например (2,4). Первое число пары отложим на горизонтальной оси, второе – на вертикальной. Через полученные засечки проведем прямые, параллельные осям. Их пересечение обозначит некоторую точку плоскости. Так каждой паре вещественных чисел можно поставить в соответствие определенную точку.

Сведущий читатель, конечно, распознал в этом построении идею декартовых координат. Рассказ о ней нам остается лишь дополнить терминологическими пояснениями: скрещенные числовые оси называются осями координат, обозначаются они латинскими буквами к (горизонтальная) и у (вертикальная), точка их пересечения называется началом координат и обозначается буквой O (от латинского «origo» – «начало»), а пара чисел, определяющая положение той или иной точки, называется координатами этой точки: первое число, откладываемое по горизонтальной оси, – абсциссой, второе, откладываемое по вертикальной, – ординатой.

Декартовы координаты

Ради примера на нашем рисунке в декартовой системе координат отмечены точки плоскости, соответствующие парам (1;1), (–2; 4), (3; 9); (0,5; 0,25), ( – 1,5; 2,25).

Поскольку декартова система координат на плоскости задается пересечением лишь двух числовых осей и положение точки в ней отмечается лишь двумя числами, ее называют двумерной. Помещенный здесь же рисунок трехмерной системы координат позволяет понять, как множество всевозможных троек вещественных, чисел отображается на множество точек пространства. Необходимая для этого дополнительная ось отмечается буквой z, а откладываемая по ней координата точки пространства называется аппликатой.

Математика: