Отношения

Брат моей жены – кто он мне? Деверь? Шурин? А кто такая золовка? А свояченица?

Непросто разобраться в тонкостях родственных отношений. Хорошо бы подвергнуть их математическому анализу, но таких исследований, насколько нам известно, еще никто не предпринимал. Поэтому мы изложим здесь самые простые соображения на этот счет.

Большую семью, представленную замысловатой схемой, будем рассматривать как некоторое множество. Исследуем для начала какое-то одно отношение, способное связать лишь два элемента нашего множества (такое отношение называется бинарным). Например, такое: «x есть брат y».

Прослеживая горизонтальные линии схемы, отберем все те пары представителей исследуемой нами семьи, для которых употребимо слово «брат». Например, Иван Петрович есть брат Петра Петровича; Владимир Васильевич – брат Зинаиды Васильевны, Миша – брат Маши.

Очевидно, подобные высказывания могут утратить смысл от перестановки имен. Миша – брат Маши, но неверно, что Маша – брат Миши.

Итак, речь идет о парах упорядоченных.

Разговор о таких парах у нас заходит уже не в первый раз. Множество всевозможных упорядоченных пар, составленных из элементов некоторого множества, мы привыкли называть произведением этого множества на себя. В данном случае на себя умножается множество родственников.

Отбирая среди всех возможных пар лишь те, для которых употребимо слово «брат», мы тем самым выделили из произведения множества родственников на себя некоторое его подмножество. Перечень отобранных пар составил исчерпывающий рассказ об отношении «x есть брат y» среди членов исследуемой нами семьи.


Оказывается, таким образом можно полностью охарактеризовать любое бинарное отношение, определенное на любом множестве: надо лишь перечислить все такие пары элементов множества, в каждой из которых первый элемент находится в данном отношении ко второму. Поэтому и говорят: всякое бинарное отношение, определенное на том или ином множестве, есть некоторое подмножество произведения этого множества на себя.

Среди всевозможных отношений, которыми можно связать элементы того или иного множества, могут быть и такие, которые охватывают не два, а больше элементов. Скажем, три – их называют тернарными. Это, например, отношение между родителями и ребенком. В большой семье, представленной нашей схемой, это отношение связывает Ивана Петровича, Ольгу Николаевну и Машу, Мишу, Люсю и Андрейку. Чтобы описать отношение между свояками, мы уже должны упоминать сразу по четыре элемента множества родственников (сами свояки и их жены, доводящиеся друг другу сестрами).

Ясно, что бинарные отношения проще тернарных и прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило, и имеют в виду, используя термин «отношение». Для некоторых наиболее употребительных в математике бинарных отношений введены специальные обозначения: x < y (x меньше y), x = y (x равно y), x ≤ y (x меньше или равно y), x ~ y (x эквивалентно y) и т.д.

Математика: