Эквивалентные множества и их свойства

«Занимайте места согласно купленным билетам» – это неписанное правило коротко и ясно определяет отображение множества зрителей на множество кресел. Зрители – прообразы, кресла – образы.

Быть может, этот пример вызывает у нас неприятные воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казусы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что ваше место уже занято: растаяв-кассир продал на него два билета. Вам ничего не остается, как искать свободное кресло, билет на которое остался непроданным.

Пример отображения

Какие же требования следует наложить на отображение, чтобы исключить подобные вещи – и накладки, и пропуски? Этих требований два, и они совершенно очевидны.

Во-первых, разным прообразам должны соответствовать разные образы (тогда не будет накладок: каждый зритель получит свое кресло).

Во-вторых, каждый элемент множества, которому принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не будет пропусков: каждое кресло получит своего зрителя).

Всякое такое отображение называется взаимно однозначным соответствием.

Смысл этого термина станет совершенно понятным, если два требования, которым должно удовлетворять любое отображение без накладок и пропусков, мы попытаемся сформулировать одной фразой. Тогда определяющее свойство такого отображения выразится так: каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один.

«Постойте! – вероятно, уже напрягает память читатель. – Где-то раньше мне уже встречалась очень похожая фраза!»

Спешим с подсказкой – давая определения понятию отображения, мы подчеркивали: каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один. (Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий, соответствие не получит звание отображения – вспомните пример с рыбаком!)

Сравним теперь две фразы, обращающие на себя внимание своим сходством:
каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один;
каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один.

Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ». Отсюда и термин «взаимно однозначное соответствие».

Такое переименование можно произвести с любой парой «прообраз – образ». И тогда множество образов взаимно отобразится на множество прообразов.

В нашем кинопримере для этого достаточно каждому креслу поставить в соответствие сидящего в нем зрителя. Это отображение называется обратным по отношению к тому, которое каждому зрителю ставило в соответствие его кресло.

Два множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными.

Множество месяцев в году, например, эквивалентного множеству зодиакальных созвездий. Оттого-то древний астролог, составляя гороскоп для очередного клиента, не указывал, в каком месяце тот родился, а витиевато писал: «Появился на свет под таким-то знаком зодиака».

Пример эквивалентного отображения

Множество цветов в спектре эквивалентно множеству нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают цвета, соответствующие нотам мелодии.)
Пример эквивалентного отображения

Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь. У вас всегда в запасе предельно простой вариант: возьмите любое множество и с каждым его элементом сопоставьте тот же самый элемент. Такое отображение множества не себя называется тождественным.

Не смущайтесь незатейливостью этого примера. У него есть свои достоинства. Он иллюстрирует одно из трех свойств, которыми обладает эквивалентность множеств. Именуется это свойство рефлексивностью, и . заключается оно в том, что любое множество эквивалентно самому себе.

А остальные свойства?

Довольно очевидно, что если мы подыскали для некоторого множества другое, ему эквивалентное, то второе множество будет эквивалентно первому. В этом выражается второе свойство эквивалентности множеств, именуемое симметричностью.

Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств заключается в том, что между ними можно установить, некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно, как мы видели в предыдущем разделе, работает в обе стороны, С его помощью можно отобразить первое множество. на второе, но также можно, взяв обратное к этому отображению, отобразить второе множество на первое.

Пример эквивалентного отображения

Еще пример, где множество месяцев в году отображается на множество знаков зодиака. Вспомним циферблат больших часов Казанского вокзала в Москве: знаки зодиака сопоставлены там с цифрами, обозначающими часы дня. Опустив промежуточные звенья, можно сопоставить напрямую месяцы и часы. В самом деле, если январь соответствует Водолею, а Водолей на часовом циферблате ставится рядом с цифрой 1, то это означает, что январь соответствует первому часу дня. Аналогичным образом февралю можно поставить в соответствие второй час, марту – третий и так далее до декабря, который окажется сопоставленным с двенадцатым часом.

Отображение множества месяцев на множество часов возникает при этом как результат определенной комбинации трех отображений, первое из которых сопоставляет месяцы со знаками зодиака, второе – знаки зодиака с цифрами от 1 до 12, третье – цифры с часами дня. Такая комбинация называется произведением, или суперпозицией, отображений.

Итак, мы видим: если в цепочке множеств любые два соседа эквивалентны друг другу, то эквивалентны и множества, стоящие по краям цепочки. В этом выражается третье свойство эквивалентности множеств, именуемое транзитивностью.

Математика: