Континуальное множество

Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою гостиницу, – это, конечно, математическая фантазия.

Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того же рода, вполне реальное, но еще более удивительное.

Займемся геометрическими построениями. Начертим на листе бумаги отрезок, а над ним параллельно ему проведем другой, вдвое меньший по длине. Серией параллельных прямых соединим точки малого отрезка с точками одной из половинок большого. Так между множествами точек малого отрезка и половины большого устанавливается взаимно однозначное соответствие. Иными словами, два эти множества эквивалентны.


А теперь возьмем те же самые отрезки, но построения сделаем несколько иначе. Лучи, проведенные на этот раз, устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками малого и большого отрезков. Стало быть, оба множества точек эквивалентны.

Сопоставим два полученных нами вывода. Множество точек половины большого отрезка эквивалентно множеству точек малого, а оно, в свою очередь, эквивалентно множеству точек всего большого отрезка. Но ведь по свойству транзитивности, которым обладает эквивалентность множеств (это свойство было объяснено тремя разделами прежде), сказанное означает, что множество точек половины большого отрезка эквивалентно множеству точек всего отрезка в целом.

Разумеется, так оно получилось потому, что множество точек нашего (да и любого) отрезка бесконечно.

Этим примером мы еще раз продемонстрировали теоретико-множественную истину: из бесконечного множества можно выделить эквивалентное ему истинное подмножество.

Если читателю понравился фокус с отрезками, то мы готовы предложить ему нечто еще более диковинное.

В чем заключается новый трюк, поясняет рисунок.


Ну не поразительно ли – множество точек отрезка эквивалентно множеству точек полупрямой! Грубо говоря, в отрезке столько же точек, сколько их в луче.

Числовая разметка рисунка показывает, что оба эти точечные множества эквивалентны множеству всех вещественных чисел между нулем и единицей включительно.

У последнего множества есть особое название, которое стоит запомнить на дальнейшее: континуум. Всякое эквивалентное ему множество называется континуальным (а иногда и точно так же – континуум).

Тот же рисунок показывает, что множество всех положительных вещественных чисел континуально. Небольшим усложнением схемы нетрудно обосновать, что таково же и множество всех вещественных чисел вообще. Можно доказать, что континуальным является и множество всех точек квадрата, и множество всех окружностей на плоскости...


Кстати, свое название есть и у множеств, подобных множеству номеров в гостинице Гильберта. Отличительное их свойство о том, что их элементы можно пронумеровать, поставить во взаимно однозначное соответствие с числами натурального ряда. Всякое такое множество называется счетным.

Нетрудно показать, что счетным является, например, множество всех дробей. Для этого их достаточно расположить в таблицу так, чтобы числитель каждой дроби совпадал с номером ряда, в котором она находится, а знаменатель – с номером столбца. А потом остается пронумеровать все дроби по схеме.


Континуум (множество всех вещественных чисел между нулем и единицей включительно) и натуральный ряд (множество всех положительных целых чисел) в подобных сопоставлениях играют роль эталонов.

У дотошного читателя может возникнуть вопрос, а как эти два эталона соотносятся между собой?

Оказывается, хотя оба множества и бесконечны, но бесконечности эти разные. Множества эти неэквивалентны.

На числовой оси нетрудно показать, как из множества положительных вещественных чисел, не превосходящих единицы, можно выделить подмножество, эквивалентное натуральному ряду: пусть единице соответствует единица, двойке – одна вторая, тройке – одна третья и так далее.

Но перенумеровать все точки единичного отрезка невозможно.


Соотношение между этими бесконечными множествами – натуральным рядом и континуумом – примерно такое же, как между двумя конечными множествами, например с пятью и десятью элементами. Из десятка всегда можно выделить пяток, из пятка десяток – никогда.

Когда некоторому конечному множеству можно поставить во взаимно однозначное соответствие часть другого конечного множества (или, выражаясь строго, истинное подмножество другого конечного множества), говорят, что численность первого множества меньше численности второго. Скажем, если в первом пять, а во втором десять элементов, то на языке чисел сказанное выразится так: 5 < 10 (пять меньше десяти).

Когда же два конечных множества эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, говорят, что они равночисленны. Скажем, если в каждом по пять элементов, то факт их равночисленности выражается равенством: 5 = 5 (пять равно пяти).

В мире бесконечных множеств при подобных сравнениях применяется иная терминология. Здесь не говорят численность, а говорят мощность.

Если два бесконечных множества эквивалентны, то есть между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то их называют равномощными, или имеющими одинаковую мощность. Если же одно бесконечное множество эквивалентно истинному подмножеству другого, а в обратную сторону такой эквивалентности установить уже нельзя, говорят, что мощность первого множества меньше мощности второго.

Таким образом, понятие мощности бесконечного множества представляет собой обобщение понятия численности, применимого лишь к конечным множествам.

Используя новое понятие, мы можем теперь придать строгую форму сказанному прежде о натуральных числах и вещественных числах между нулем и единицей: мощность счетного множества меньше мощности континуального.

Математика: