Относительность аксиом

Мы подозреваем, что у читателя уже зародился вопрос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самые точные?

Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так может лишь тот, кто считает, что аксиомы – это истины очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, устанавливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно. Напомним: аксиомы – это положения, без доказательств принимаемые в качестве исходных при рассуждениях.

Дело здесь исключительно в том, какая система аксиом (разумеется, непротиворечивая!), какая геометрия более соответствует результатам опыта, более удобна для практических нужд.

Смешон был бы тот, кто планировал бы садовый участок или теннисный корт по геометрии Римана на том лишь основании, что земная поверхность есть сфера. В садово-теннисных, масштабах отклонения земной сферы от плоскости невелики – не более десятой доли миллиметра. Здесь вполне приемлемы простые и привычные нормы эвклидовой планиметрии.

Нет смысла отказываться от старых испытанных аксиом, если они согласуются с опытом в пределах допустимых погрешностей. Но если выводы, диктуемые какой-либо из этих аксиом, противоречат данным опыта, от нее следует отказаться, даже если она кажется совершенно очевидной, единственно мыслимой.

Лобачевский, усомнившись в евклидовой аксиоме о параллельных, доказал, что без нее сумма углов треугольника уже не равна 180 градусам. И тогда он обратился к результатам астрономических измерений. С достигнутой к тому времени точностью (порядка миллионных долей угловой секунды) выяснилось, что треугольники, своими размерами достигающие масштабов Солнечной системы, придерживаются 180-градусной нормы. Результаты проверки говорили за то, что евклидовой геометрией можно пользоваться даже на столь широких просторах космоса.

Но мысль человека преодолевает любые пределы, устремляется к далеким галактикам Какой геометрии будут подчиняться результаты наших измерений в пространствах столь колоссальных масштабов?

Наука ведет человека по шкале расстояний и к другой крайности, в микромир. Где гарантия, что эвклидовы аксиомы не будут противоречить измерениям пространства столь малых масштабов?

Эти умозаключения принадлежат не нам. Мы всего лишь повторяем предположение самого лобачевского о том, что отклонения от евклидовой геометрии могут встретиться «либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений».

Реальный мир бесконечно разнообразен. Все расширяются наши знания о нем. Мы должны быть готовы к неожиданностям, когда будет необходимо заменить те или иные аксиомы традиционной евклидовой геометрии, вполне приемлемой в прежних узких масштабах практической деятельности.

И мысль геометров загодя испытывает возможные замены: какие логические следствия повлекут они? Так создаются различные неэвклидовы геометрии. Мыслимые неожиданности будут встречены во всеоружии.

Рассказывая про то, откуда в математике берутся аксиомы, теоремы, определения, мы ради наглядности обращались за примерами к геометрии. Наш рассказ нетрудно перефразировать на любую математическую теорию. В ее основе – некоторый свод аксиом. Они содержат определения основных объектов теории. Новые объекты определяются через род и видовое отличие. Из аксиом по правилам логического вывода получаются теоремы. Из них складывается математическая теория.