Геометрия Евклида, Лобачевского и Римана

Прекрасная вещь – спелый арбуз. Но как убедиться в его спелости'? Одни стучат по арбузу костяшками согнутых пальцев другие сжимают его с боков, прислушиваясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают хвостик. Однако самый надежный способ – вырезать уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните, какую форму он имеет?

Углы треугольника на окружности

Конечно, арбуз появился на этой странице не как лакомство. К вырезанному кусочку, напоминающему пирамиду, мы хотим привлечь ваше внимание совсем не с той стороны, которая интересна при выборе арбуза, – не к красной вершине этой пирамиды, а к зеленому треугольнику в ее основании.

Вероятно, вам никогда не приходило в голову измерять его углы. А зря. Ведь если бы вы измерили их и сложили, то пришли бы к любопытному результату: сумма углов этого треугольника превышает 180 градусов!

Еще более любопытный результат получился бы, если бы пробный кусочек увеличился до восьмушки арбуза. У треугольного основания этой пирамиды каждый из углов составляет по 90 градусов, а значит, их сумма в полтора раза больше нормы, которую предписывают законы школьной геометрии.

Непорядок у арбузных треугольников не только с углами. Возьмем последний из треугольников, рассмотренных нами, – тот, у которого все углы прямые. Попробуем применить к нему теорему Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Но наш треугольник, как нетрудно заметить, еще и равносторонний. Гипотенуза и оба катета у него равны друг другу. Стало быть, их нельзя подставить в пифагорово равенство, не нарушив его: сумма не может равняться каждому из двух слагаемых!

Разумеется, мы несколько преувеличиваем, когда говорим про свое изумление. Противоречия с евклидовой геометрией, которые обнаружились при выборе арбуза, понятны. Ведь поверхность, на которой нарисованы странные треугольники, искривлена. А 180-градусная норма установлена для суммы углов плоских треугольников, которые только и изучаются в школьном курсе геометрии. Для них же выведена и теорема Пифагора.

Однако, на дело можно взглянуть и по-иному. Можно изучить геометрические закономерности, лежащие в основе удивительных фактов, с которыми мы только что столкнулись. Затем можно свести эти закономерности в систему аксиом. Исходя из этих аксиом, можно строить некую новую геометрию, отличную от евклидовой.

Русский математик Николай Иванович Лобачевский, известен как создатель первой неэвклидовой геометрии. Не менее известен немецкий математик Бернгард Риман. Его именем называют другую неэвклидову геометрию, которой подчиняются, прямые на сфере – будь то поверхность арбуза или Земли. Прямыми здесь считаются дуги больших окружностей. Так называются окружности, центры которых совпадают с центром сферы. Это, например, экватор или меридианы на глобусе.

И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана многие утверждения противоречат представлениям евклидовой геометрии, которую излагают школьные учебники.

Например, в геометрии Эвклида через каждую точку, не принадлежащую некоторой данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Геометрия Римана не знает параллельных, в ней любые две прямые имеют общую точку. В самом деле: на глобусе любые два меридиана пересекаются в полюсах. А вот в геометрии Лобачевского через данную точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной прямой.

В геометрии Эвклида сумма углов всякого треугольника равна 180 градусам, отношение длины окружности к радиусу всегда равно двум «пи» (2π = 6,2831852...). В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180 градусов. Отношение длины окружности к радиусу здесь всегда больше, чем два «пи». В геометрии Римана – все наоборот. В этом можно убедиться с помощью все той же сферы. О сумме углов любого треугольника на ней мы уже говорили. Она всегда больше 180 градусов. По поводу окружностей можно привести не менее ошеломляющий пример. Самая большая окружность на сферической поверхности земного шара, экватор, только лишь в четыре раза длиннее своего радиуса, половины меридиана.

Однако, не надо, думать, что у Лобачевского и Римана все не так как у Эвклида. Например, в каждой из трех геометрий справедливы неравенства треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей, а разность – меньше.

Для геометрии Римана мы могли бы доказать это, проведя соответствующие построения на сфере.

Есть наглядное пособие и для геометрии Лобачевского. Оно показано на рисунке рядом. Эта диковинная поверхность, состоящая как бы из двух воронок, сомкнутых раструбами, называется псевдосферой.

Псевдосфера в геометрии Лобачевского

Математика: