Математическая модель

Блез Паскаль, французский математик и философ, получил не школьное, а домашнее образование. Его учителем был отец, Этьен Паскаль, один из просвещеннейших людей того времени.

Согласно учебному плану Паскаля-старшего математику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнадцати лет. Но ребенок поломал все планы своего учителя. Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколько аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересоваться дальнейшим.

Отец, считая, что время для этого еще не настало, от разговоров о геометрии уклонялся. Каково же было его удивление, когда однажды, зайдя в детскую, он застал двенадцатилетнего сына за доказательством теоремы о сумме углов треугольника.

Удивительно рано проявилась математическая одаренность будущего прославленного ученого. Однако в этой истории не менее удивительно другое.

Дело в том, что свои геометрические построения Блез проводил с помощью «палочек» и «колечек» – так он называл прямые и окружности. По всей вероятности, он представлял их себе имеющими вполне ощутимую толщину. Точками ему, вероятно, служили этакие бусинки, шарики определенного и постоянного радиуса.

То, что столь необычные средства не помешали Паскалю прийти к успеху в его геометрических доказательствах, объяснимо лишь одним: для бусинок и палочек справедливы все те аксиомы, что и для точек без частей и прямых без ширины, как их определял Эвклид.

Через две точки можно провести прямую, и притом только одну, говорим мы. Две бусинки можно соединить палочкой, и притом только одной – так, вероятно, это утверждение представлял себе маленький Блез.

Он представлял это так потому, что так ему было удобнее, понятнее. Он, как сказали бы ученые, моделировал своими палочками абстрактное понятие прямой. Точно так же моделируем его мы, проводя карандашом на бумаге ровные тонкие линии. Так же моделировал его древний землемер, натягивая веревку между колышками, так же- моделирует его сегодня геодезист лучом лазера.

Подобных моделей может быть сколько угодно. И если в них воплощены одни и те же геометрические аксиомы, все они подчиняются следствиям из аксиом.

Нечто похожее мы наблюдаем во всех точных науках.

Одно и то же уравнение описывает распространение тепла, просачивание нефти через земные слои, проникновение электромагнитного поля в плазму. Одно и то же уравнение описывает течение жидкости, прогиб мембраны, напряжения в брусе, подвергнутом кручению.

Само уравнение служит, как говорят, математической моделью явления или процесса. Одна и та же модель бывает пригодна для нескольких процессов и явлений, совсем непохожих друг на друга внешне, но подчиняющихся одним и тем же математическим закономерностям. Если общее для них уравнение оказывается слишком сложным и пока не поддается решению, можно, следя за одним процессом, безошибочно судить о его математическом двойнике.

Не заглянешь в толщу стального бруса, не увидишь картину напряжений внутри него. И тогда экспериментатор натягивает гибкую мембрану на жесткий контур, повторяющий своей формой профиль бруса. Под равномерной нагрузкой мембрана вспучивается. Ев изгибы точь-в-точь соответствуют распределению напряжений по сечению бруса. Почему эта так? Потому что математическая задача формулируется одинаково и там и тут. Мембрану и брус породнила математика.

В каждом таком примере выразительно проявляется мощь математики. Она умеет разбираться в разнообразнейших вопросах, исходя из немногих взаимосвязанных основных понятий и утверждений.

Наблюдая различные процессы и явления, ученый старается разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие их закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Впрочем, когда мы хвалим математику, мы должны соблюдать осторожность.

Математические понятия – понятия отвлеченные, абстрактные. Это лишь слепок с реального мира, лишь его бледный силуэт. И поэтому та же приближенность свойственна результатам любой математической теории, какими бы строгими и логичными путями они ни были получены: выводы не могут быть точнее предпосылок.

Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, отсекая второстепенные детали, математик всегда обедняет жизнь. В математических рассуждениях, логичных и последовательных, нет места ни шутке, ни неожиданному сравнению. Математическая мысль не исчерпывает всех проявлений человеческого разума.

Математика: