Формирование геометрических понятий

«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе», – говорил немецкий математик Карл Вейерштрасс.

Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки своих понятий и представлений, если нам никак не удается определить их в строгих математических терминах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут поэтические образы.

«Звезды на небе – как искорки». «Луч света – как тетива лука». «Равнина – как гладь озера».

Поэтический дар, которым человек наделен от природы, побуждал его подмечать сходство в различном. Многократно отмечая то или иное свойство у различных предметов, человек осознавал это свойство и давал ему имя.

Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщающем суждении уже явно выражало понятие прямой. Напоминая о тетиве лука и о луче света, оно в то же время уже отделено от них, существует само по себе в нашем сознании.

В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли подходящего инструмента для проведения прямой на бумаге. Штрих карандаша, мазок кисти – все это были реальные образы. Они не способны точно выразить идеальный образ прямой.

Так появлялись абстрактные геометрические понятия.

И чем настойчивее искал человек простые, но характерные, немногие, но существенные свойства предметов, чем смелее отбрасывал при обобщении черты второстепенные и случайные, чем шире был круг предметов, тем более содержательным и вместе с тем более отчетливым становилось соответствующее абстрактное понятие, будь то плоскость или прямая, точка или окружность.

Так складывался набор элементарных геометрических образов.

Но человек – не только созерцатель и поэт. Человек – прежде всего труженик.

В своей практической деятельности, постигая свойства реальных предметов и их взаимосвязи, человек устанавливал свойства созданных им геометрических образов и отношения между ними.

Старинная легенда рассказывает, как зародилась наука геометрия. Было это в Древнем Египте. Огромная река течет через всю эту местность – Нил. Разливаясь с каждой весной, Нил затоплял поля и уничтожал межи, разделявшие земельные участки. Межи приходилось восстанавливать каждый раз заново. Из года в год, из века в век совершенствовались приемы землемерия. Если произнести это слово на древнегреческом языке, мы узнаем в нем название науки, о которой рассуждаем: геометрия.

Натягивая межевую веревку между двумя колышками, древние землемеры не раз имели возможность убедиться, что эта несложная операция всегда приводит к одному и тому же результату. Многократно повторенный опыт внушал вывод: через две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Так рождались аксиомы общие для всех, кто трудится на земле.

И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и закономерные связи между предметами реального мира, чем глубже осмыслял их логику, чем чаще узнавал при самых различных обстоятельствах то или иное соотношение, чем успешнее использовал его в своих рассуждениях и действиях, тем надежнее подтверждала свое звание соответствующая аксиома: через любые две точки можно провести прямую; существуют три точки, не лежащие на одной прямой, и так далее.

Аксиом становилось все больше. Они складывались в единую систему. Математики заботились о том, чтобы такая система была полной, то есть чтобы из нее можно было вывести любую из известных геометрических теорем. И еще о том, чтобы она была непротиворечивой, та есть чтобы из нее нельзя было вывести взаимоисключающие утверждения.

Взятые вместе, эти аксиомы описывают все свойства основных геометрических объектов, все соотношения между ними, используемые при выводе геометрических теорем. Потому и не нуждаются в определении основные геометрические понятия – точка, прямая, плоскость. Их определения содержатся в аксиомах геометрии.