Что такое прямая?

Перед вами – малярная кисть, плакатное перо, фломастер и тонко очиненный карандаш. Каким из этих инструментов вы бы воспользовались, чтобы нарисовать прямую линию на бумаге?

По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом. И это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу с неровными краями, с кляксами по сторонам, с торчащими в разные стороны усами, то есть с теми деталями, которые не имеют никакого отношения к прямой линии. Не свободны от подобных недостатков и плакатное перо, и фломастер. А у следа, оставленного на бумаге тонко очиненным карандашом, таких «довесков» нет. По крайней мере они не заметны невооруженным глазом.

Но посмотрите на след карандаша через увеличительное стекло. Он ничем не лучше следа, оставленного малярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же неровные края.

Карандаш нужно заменить инструментом более совершенным. Но где же тот инструмент, который позволит свести на нет все несущественные подробности? Хорошенько поразмыслив, мы наверняка придем к выводу: такого инструмента не найдешь ни в одной готовальне.

Может быть, мы сплоховали из-за своей неопытности? Не посоветоваться ли нам в этом щекотливом вопросе с признанными авторитетами? Как, например, определял прямую линию отец геометрии Эвклид?

Раскроем вновь его «Начала»:

«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же – длина без ширины. Концы же линии – точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...»

Ну как – все ясно? Нет, пожалуй. Недоуменные вопросы напрашиваются и после этих слов. Разве только про прямую линию можно сказать, что она равно расположена по отношению к своим точкам? Ведь таким же свойством обладает и окружность. И потом – что такое длина? Что такое ширина? Не нуждаются ли эти понятия, в свою очередь, в строгом определении?

Подобные вопросы могут показаться кощунством: придираться к самому Эвклиду! Что же, мы далеко не первые, кто упрекает его в нестрогости. Особенно участились такие придирки на рубеже XIX и XX веков; когда математики стали задумываться: а такое ли уж стройное здание геометрии? Начали они, естественно, с фундамента. Вот тут-то и были замечены некоторые погрешности, допущенные отцом геометрии. Началась кропотливая работа по их устранению.

Как же выглядят начала геометрии в современном изложении? Возьмем книгу немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии»:

«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками, вещи второй системы мы называем прямыми, вещи третьей системы мы называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: лежать между, конгруэнтный (то есть совмещаемый наложением. – Авт.), параллельный, непрерывный».

Как видно, Гильберт и не собирается определять основные объекты геометрии – точку, прямую, плоскость.

Математика: